Примеры. Расчёт кручения ступенчатого стержня

ОТЧЁТ

Исходные данные

Расчёт

1. Определение реакций опор для схемы на рис.1

Для определения реакции левой опоры составим уравнение статики:

Решение уравнения (1) даёт следующее значение реакции:

M_A = 11кН·м.

2. Расчёт геометрических характеристик сечения

Для выполнения расчёта необходимо для сечения каждого стержня определить поляный момент инерции и момент сопротивления.

Стержень №1:

${\displaystyle J_1=\frac{\pi D_1^4}{32}=\frac{\pi ·{10}^4}{32}=981.75{\text{см}}^4=9.8175·{10}^{-6}{\text{м}}^4\text{;}}$

${\displaystyle W_1=\frac{\pi D_1^3}{16}=\frac{\pi ·{10}^3}{16}=196.35{\text{см}}^3=1.9635·{10}^{-4}{\text{м}}^3\text{.}}$

3. Построение эпюр крутящего момента, касательных напряжений и угловых перемещений для схемы на рис.2

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 1.3м)

M_z1 = M_A = -11кН·м.

τ₁ = M₁/W₁ = -56.023МПа.

ϕ₁ = M_A·z₁/(GJ₁);

при z₁ = 0; ϕ₁ = 0.

при z₁ = 1.3м; ϕ₁ = -0.018207рад.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 2м)

M_z2 = M₁ - m·z₂ + M_A;

при z₂ = 0; M_z2 = -31кН·м.

при z₂ = 2м; M_z2 = 5кН·м.

τ₂ = M₂/W₁;

при z₂ = 0; τ₂ = -157.88МПа.

при z₂ = 2м; τ₂ = 25.465МПа.

ϕ₂ = ϕ₁[z=1.3м] + M₁·z₂/(GJ₁) - m·z₂²/(GJ₁) + M_A·z₂/(GJ₁);

при z₂ = 0; ϕ₂ = -0.018207рад.

при z₂ = 1.7222м; ϕ₂ = -0.052196рад.

при z₂ = 2м; ϕ₂ = -0.051312рад.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 1.7м)

M_z3 = -M₂ + M_A + M₁ - m·2м = 17кН·м.

τ₃ = M₃/W₁ = 86.58МПа.

ϕ₃ = ϕ₂[z=2м] - M₂·z₃/(GJ₁) + M_A·z₃/(GJ₁) + M₁·z₃/(GJ₁) - m·2м·z₃/(GJ₁);

при z₃ = 0; ϕ₃ = -0.051312рад.

при z₃ = 1.7м; ϕ₃ = -0.014515рад.

ОТЧЁТ

Исходные данные

Расчёт

1. Определение реакций опор для схемы на рис.1

Для определения реакции левой опоры составим уравнение статики:

Решение уравнения (1) даёт следующее значение реакции:

M_A = 55кН·м.

2. Построение эпюр крутящего момента для схемы на рис.2

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 1м)

M_z1 = -M_A + m·z₁;

при z₁ = 0; M_z1 = 55кН·м.

при z₁ = 1м; M_z1 = 15кН·м.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 1м)

M_z2 = -M_A + m·1м = 15кН·м.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 0.5м)

M_z3 = M₁ - M_A + m·1м = -35кН·м.

Участок №4 (0 ≤ z₄ ≤ 1.2м)

M_z4 = -M_A + m·1м + M₁ = -35кН·м.

3. Подбор размеров поперечных сечений из условия прочности.

Условие обеспечения прочности, т.е. не превышения допустимого напряжения записывается в виде следующей формулы:

Данная формула означает, что максимальное напряжение не должно превышать допустимое напряжение [τ].

Для подбора размеров поперечных сечений из условия прочности сначала выразим полярный момент сопротивления сечения каждого стержня через параметр D.

${\displaystyle W_1={\alpha }_1{w}_1^2{h}_1=0.246·{\left(\frac{(1.7·D)}{2}\right)}^2·(1.7·D)=0.30215·D^3\text{;}}$

${\displaystyle W_2=\frac{\pi D_2^3}{16}(1-{\left(\frac{d_2}{D_2}\right)}^3)=\frac{\pi ·{(2·D)}^3}{16}(1-{0.7}^3)=1.1936·D^3\text{;}}$

${\displaystyle W_3=\frac{\pi D_3^3}{16}=\frac{\pi ·{(1·D)}^3}{16}=0.19635·D^3\text{.}}$

Обобщая приведённые выше выражения, полярный момент сопротивления любого i-го стержня можно представить в следующем виде:

${\displaystyle W_i=S_i·D^3\text{,}}$

где предположим, что S_i - коэффициент, характеризующий свойства сечения каждого стержня. Подставим полученное выражение полярного момента сопротивления сечения в формулу обеспечения прочности (2) и выразим параметр D:

${\displaystyle D_i\ge \sqrt[3]{\frac{\left|M_i^{\max }\right|}{S_i\left[\tau \right]}}\text{.}}$

В соответствии с полученным выражением вычислим параметр D для каждого стержня.

${\displaystyle D_1\ge \sqrt[3]{\frac{5.5·{10}^4}{0.30215·1·{10}^8}}=0.1221\text{м}=12.21\text{см;}}$

${\displaystyle D_2\ge \sqrt[3]{\frac{3.5·{10}^4}{1.1936·1·{10}^8}}=0.066435\text{м}=6.6435\text{см;}}$

${\displaystyle D_3\ge \sqrt[3]{\frac{3.5·{10}^4}{0.19635·1·{10}^8}}=0.12125\text{м}=12.125\text{см.}}$

Наибольшее значение параметра D получилось на стержне №1 (D₁ = 12.21см).

4. Подбор размеров поперечных сечений из условия жёсткости.

Условие обеспечения жёсткости, т.е. не превышения допустимого относительного углового перемещения записывается в виде следующей формулы:

Данная формула означает, что максимальное относительное угловое перемещение не должно превышать допустимого значения [θ].

Для подбора размеров поперечных сечений из условия жёсткости сначала выразим полярный момент инерции сечения каждого стержня через параметр D.

${\displaystyle J_1={\beta }_1{w}_1^3{h}_1=0.229·{\left(\frac{(1.7·D)}{2}\right)}^3·(1.7·D)=0.23908·D^4\text{;}}$

${\displaystyle J_2=\frac{\pi D_2^4}{32}(1-{\left(\frac{d_2}{D_2}\right)}^4)=\frac{\pi ·{(2·D)}^4}{32}(1-{0.7}^4)=1.1936·D^4\text{;}}$

${\displaystyle J_3=\frac{\pi D_3^4}{32}=\frac{\pi ·{(1·D)}^4}{32}=0.098175·D^4\text{.}}$

Обобщая приведённые выше выражения, полярный момент инерции сечения любого i-го стержня можно представить в следующем виде:

${\displaystyle J_i=P_i·D^4\text{,}}$

где предположим, что P_i - коэффициент, характеризующий свойства сечения каждого стержня. Подставим полученное выражение полярного момента инерции в формулу обеспечения жёсткости (3) и выразим параметр D:

${\displaystyle D_i\ge \sqrt[4]{\frac{\left|M_i^{\max }\right|}{G_i{P}_i\left[\theta \right]}}\text{.}}$

В соответствии с полученным выражением вычислим параметр D для каждого стержня. Величина [θ] в расчёте переведена из град./м в рад./м.

${\displaystyle D_1=\sqrt[4]{\frac{5.5·{10}^4}{8·{10}^{10}·0.23908·2·\pi /180}}=0.09527\text{м}=9.527\text{см;}}$

${\displaystyle D_2=\sqrt[4]{\frac{3.5·{10}^4}{8·{10}^{10}·1.1936·2·\pi /180}}=0.056924\text{м}=5.6924\text{см;}}$

${\displaystyle D_3=\sqrt[4]{\frac{3.5·{10}^4}{8·{10}^{10}·0.098175·2·\pi /180}}=0.1063\text{м}=10.63\text{см.}}$

Наибольшее значение параметра D получилось на стержне №3 (D₃ = 10.63см).

5. Определение размеров поперечных сечений стержней.

Сопоставляя результаты расчета на прочность и жёсткость, принимаем большее значение параметра D = 12.21см. Данное значение будет использовано для определения размеров поперечных сечений стержней.

Стержень №1:

${\displaystyle h_1=1.7·D=20.757\text{см;}}$

${\displaystyle w_1=10.378\text{см;}}$

${\displaystyle {\alpha }_1=0.246\text{;}}$

${\displaystyle {\beta }_1=0.229\text{;}}$

${\displaystyle J_1={\beta }_1{w}_1^3{h}_1=5313.7{\text{см}}^4=5.3137·{10}^{-5}{\text{м}}^4\text{;}}$

${\displaystyle W_1={\alpha }_1{w}_1^2{h}_1=550{\text{см}}^3=5.5·{10}^{-4}{\text{м}}^3\text{.}}$

Стержень №2:

${\displaystyle D_2=2·D=24.42\text{см;}}$

${\displaystyle d_2=17.094\text{см;}}$

${\displaystyle J_2=\frac{\pi D_2^4}{32}(1-{\left(\frac{d_2}{D_2}\right)}^4)=26530{\text{см}}^4=2.653·{10}^{-4}{\text{м}}^4\text{;}}$

${\displaystyle W_2=\frac{\pi D_2^3}{16}(1-{\left(\frac{d_2}{D_2}\right)}^3)=2172.8{\text{см}}^3=2.1728·{10}^{-3}{\text{м}}^3\text{.}}$

Стержень №3:

${\displaystyle D_3=1·D=12.21\text{см;}}$

${\displaystyle J_3=\frac{\pi D_3^4}{32}=2182{\text{см}}^4=2.182·{10}^{-5}{\text{м}}^4\text{;}}$

${\displaystyle W_3=\frac{\pi D_3^3}{16}=357.41{\text{см}}^3=3.5741·{10}^{-4}{\text{м}}^3\text{.}}$

6. Построение эпюр касательных напряжений и угловых перемещений для схемы на рис.2

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 1м)

τ₁ = M₁/W₁;

при z₁ = 0; τ₁ = 100МПа.

при z₁ = 1м; τ₁ = 27.273МПа.

ϕ₁ = -M_A·z₁/(GJ₁) + m·z₁²/(GJ₁);

при z₁ = 0; ϕ₁ = 0.

при z₁ = 1м; ϕ₁ = 8.2335·10^-3рад.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 1м)

τ₂ = M₂/W₂ = 6.9036МПа.

ϕ₂ = ϕ₁[z=1м] - M_A·z₂/(GJ₂) + m·1м·z₂/(GJ₂);

при z₂ = 0; ϕ₂ = 8.2335·10^-3рад.

при z₂ = 1м; ϕ₂ = 8.9402·10^-3рад.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 0.5м)

τ₃ = M₃/W₂ = -16.108МПа.

ϕ₃ = ϕ₂[z=1м] + M₁·z₃/(GJ₂) - M_A·z₃/(GJ₂) + m·1м·z₃/(GJ₂);

при z₃ = 0; ϕ₃ = 8.9402·10^-3рад.

при z₃ = 0.5м; ϕ₃ = 8.1157·10^-3рад.

Участок №4 (0 ≤ z₄ ≤ 1.2м)

τ₄ = M₄/W₃ = -97.926МПа.

ϕ₄ = ϕ₃[z=0.5м] - M_A·z₄/(GJ₃) + m·1м·z₄/(GJ₃) + M₁·z₄/(GJ₃);

при z₄ = 0; ϕ₄ = 8.1157·10^-3рад.

при z₄ = 1.2м; ϕ₄ = -0.015945рад.

ОТЧЁТ

Исходные данные

Расчёт

1. Расчёт геометрических характеристик сечения

Для выполнения расчёта необходимо для сечения каждого стержня определить поляный момент инерции и момент сопротивления.

Стержень №1:

${\displaystyle J_1=\frac{\pi D_1^4}{32}=\frac{\pi ·{10}^4}{32}=981.75{\text{см}}^4=9.8175·{10}^{-6}{\text{м}}^4\text{;}}$

${\displaystyle W_1=\frac{\pi D_1^3}{16}=\frac{\pi ·{10}^3}{16}=196.35{\text{см}}^3=1.9635·{10}^{-4}{\text{м}}^3\text{.}}$

Стержень №2:

${\displaystyle J_2=\frac{\pi D_2^4}{32}(1-{\left(\frac{d_2}{D_2}\right)}^4)=\frac{\pi ·{15}^4}{32}(1-{0.6}^4)=4326{\text{см}}^4=4.326·{10}^{-5}{\text{м}}^4\text{;}}$

${\displaystyle W_2=\frac{\pi D_2^3}{16}(1-{\left(\frac{d_2}{D_2}\right)}^3)=\frac{\pi ·{15}^3}{16}(1-{0.6}^3)=576.8{\text{см}}^3=5.768·{10}^{-4}{\text{м}}^3\text{.}}$

Стержень №3:

${\displaystyle J_3={\beta }_3{w}_3^3{h}_3=0.263·{\left(\frac{18}{3}\right)}^3·18=1022.5{\text{см}}^4=1.0225·{10}^{-5}{\text{м}}^4\text{;}}$

${\displaystyle W_3={\alpha }_3{w}_3^2{h}_3=0.267·{\left(\frac{18}{3}\right)}^2·18=173.02{\text{см}}^3=1.7302·{10}^{-4}{\text{м}}^3\text{.}}$

2. Определение реакций опор для схемы на рис.1

Согласно исходной схеме в процессе деформирования стержня будет участвовать левая и правая опоры. Каждая опора даст реакцию, поэтому реакций будет две.

Для определения реакций можно составить только одно уравнение статического равновесия:

Поскольку в этом единственно возможном уравнении статики два неизвестных M_A и M_B, данная задача статически неопределима. Степень статической неопределимости: n = 2 – 1 = 1 – задача один раз статически неопределимая. Для раскрытия статической неопределимости требуется составить одно дополнительное уравнение. Дополнительное уравнение составляем исходя из того, что перемещение правого конца стержня будет равно нолю, так как в правом конце стержня установлена неподвижная опора. Запишем сумму перемещений правого конца стержня от каждой нагрузки и реакции M_B, и приравняем эту сумму нолю:

где,

${\displaystyle {\phi }_{M_1}=\frac{M_1·0.5·L_1}{G{J}_1}=\frac{4·{10}^4·1}{8·{10}^{10}·9.8175·{10}^{-6}}=0.05093\text{рад.}\text{;}}$

${\displaystyle {\phi }_m=\frac{-m·L_2}{G}(\frac{L_1}{J_1}+\frac{L_2}{2J_2})=\frac{-2·{10}^4·1.5}{8·{10}^{10}}(\frac{2}{9.8175·{10}^{-6}}+\frac{1.5}{2·4.326·{10}^{-5}})=-0.082896\text{рад.}\text{;}}$

${\displaystyle {\phi }_{M_2}=\frac{M_2}{G}(\frac{L_1}{J_1}+\frac{L_2}{J_2})=\frac{1.8·{10}^4}{8·{10}^{10}}(\frac{2}{9.8175·{10}^{-6}}+\frac{1.5}{4.326·{10}^{-5}})=0.053638\text{рад.}\text{;}}$

${\displaystyle {\phi }_{M_B}=\frac{-M_B}{G}(\frac{L_1}{J_1}+\frac{L_2}{J_2}+\frac{L_3}{J_3})=\frac{-M_B}{8·{10}^{10}}(\frac{2}{9.8175·{10}^{-6}}+\frac{1.5}{4.326·{10}^{-5}}+\frac{1}{1.0225·{10}^{-5}})=-4.2023·{10}^{-6}·M_B\text{.}}$

Полученные перемещения подставляются в уравнение (2) откуда выражается и определяется реакция M_B. Затем значение M_B подставляется в уравнение (1) откуда определяется реакция M_A. В результате получаются следующие значения реакций:

M_A = 22.843кН·м;

M_B = 5.1571кН·м.

3. Построение эпюр крутящего момента, касательных напряжений и угловых перемещений для схемы на рис.2

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 1м)

M_z1 = -M_A = 22.843кН·м.

τ₁ = M₁/W₁ = 116.34МПа.

ϕ₁ = -M_A·z₁/(GJ₁);

при z₁ = 0; ϕ₁ = 0.

при z₁ = 1м; ϕ₁ = 0.029084рад.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 1м)

M_z2 = M₁ - M_A = -17.157кН·м.

τ₂ = M₂/W₁ = -87.381МПа.

ϕ₂ = ϕ₁[z=1м] + M₁·z₂/(GJ₁) - M_A·z₂/(GJ₁);

при z₂ = 0; ϕ₂ = 0.029084рад.

при z₂ = 1м; ϕ₂ = 7.2393·10^-3рад.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 1.5м)

M_z3 = -m·z₃ - M_A + M₁;

при z₃ = 0; M_z3 = -17.157кН·м.

при z₃ = 1.5м; M_z3 = 12.843кН·м.

τ₃ = M₃/W₂;

при z₃ = 0; τ₃ = -29.746МПа.

при z₃ = 1.5м; τ₃ = 22.266МПа.

ϕ₃ = ϕ₂[z=1м] - m·z₃²/(GJ₂) - M_A·z₃/(GJ₂) + M₁·z₃/(GJ₂);

при z₃ = 0; ϕ₃ = 7.2393·10^-3рад.

при z₃ = 0.85786м; ϕ₃ = 5.1128·10^-3рад.

при z₃ = 1.5м; ϕ₃ = 6.3043·10^-3рад.

Участок №4 (0 ≤ z₄ ≤ 1м)

M_z4 = M₂ - M_A + M₁ - m·1.5м = -5.1571кН·м.

τ₄ = M₄/W₃ = -29.807МПа.

ϕ₄ = ϕ₃[z=1.5м] + M₂·z₄/(GJ₃) - M_A·z₄/(GJ₃) + M₁·z₄/(GJ₃) - m·1.5м·z₄/(GJ₃);

при z₄ = 0; ϕ₄ = 6.3043·10^-3рад.

при z₄ = 1м; ϕ₄ = 0.

ОТЧЁТ

Исходные данные

Расчёт

1. Определение реакций опор для схемы на рис.1

Согласно исходной схеме в процессе деформирования стержня будет участвовать левая и правая опоры. Каждая опора даст реакцию, поэтому реакций будет две.

Для определения реакций можно составить только одно уравнение статического равновесия:

Поскольку в этом единственно возможном уравнении статики два неизвестных M_A и M_B, данная задача статически неопределима. Степень статической неопределимости: n = 2 – 1 = 1 – задача один раз статически неопределимая. Для раскрытия статической неопределимости требуется составить одно дополнительное уравнение. Дополнительное уравнение составляем исходя из того, что угол поворота правого конца стержня будет равно нолю, так как в правом конце стержня установлена неподвижная опора. Запишем сумму угловых перемещений правого конца стержня от каждой нагрузки и реакции M_B, и приравняем эту сумму нолю:

Для определения угловых перемещений входящих в уравнение (2) требуется сначала выразить полярный момент инерции сечения каждого стержня. Поскольку на данном этапе размеры каждого стержня выражаются через параметр D, полярный момент инерции также будет выражен через параметр D в четвёртой степени:

${\displaystyle J_1=\frac{\pi D_1^4}{32}(1-{\left(\frac{d_1}{D_1}\right)}^4)=\frac{\pi ·{(2.5·D)}^4}{32}(1-{0.7}^4)=2.9142·D^4\text{;}}$

${\displaystyle J_2=\frac{\pi D_2^4}{32}=\frac{\pi ·{(1·D)}^4}{32}=0.098175·D^4\text{;}}$

${\displaystyle J_3=\frac{\pi D_3^4}{32}(1-{\left(\frac{d_3}{D_3}\right)}^4)=\frac{\pi ·{(2·D)}^4}{32}(1-{0.8}^4)=0.9274·D^4\text{.}}$

Используя полученные полярные моменты инерции стержней, определяем угловые перемещения, входящие в состав уравнения (2):

${\displaystyle {\phi }_M=\frac{M}{G}(\frac{L_1}{J_1}+\frac{0.5·L_2}{J_2})=\frac{4.5·{10}^4}{8·{10}^{10}}(\frac{1.5}{2.9142\mathrm{·}{D}^4}+\frac{0.5}{0.098175\mathrm{·}{D}^4})=\frac{3.1543·{10}^{-6}}{D^4}\text{;}}$

${\displaystyle {\phi }_m=\frac{m·L_3}{G}(\frac{L_1}{J_1}+\frac{L_2}{J_2}+\frac{L_3}{2J_3})=\frac{2.5·{10}^4·1.2}{8·{10}^{10}}(\frac{1.5}{2.9142\mathrm{·}{D}^4}+\frac{1}{0.098175\mathrm{·}{D}^4}+\frac{1.2}{2·0.9274\mathrm{·}{D}^4})=\frac{4.2554·{10}^{-6}}{D^4}\text{;}}$

${\displaystyle {\phi }_{M_B}=\frac{-M_B}{G}(\frac{L_1}{J_1}+\frac{L_2}{J_2}+\frac{L_3}{J_3})=\frac{-M_B}{8·{10}^{10}}(\frac{1.5}{2.9142\mathrm{·}{D}^4}+\frac{1}{0.098175\mathrm{·}{D}^4}+\frac{1.2}{0.9274\mathrm{·}{D}^4})=\frac{-1.4993·{10}^{-10}}{D^4}·M_B\text{.}}$

Поскольку на данном этапе полярный момент инерции сечения каждого стержня представлен через параметр D, угловые перемещения также выражены через параметр D. Полученные угловые перемещения подставляются в уравнение (2), параметр D сокращается, затем выражается и определяется реакция M_B. Далее значение M_B подставляется в уравнение (1) откуда определяется реакция M_A. В результате получаются следующие значения реакций:

M_A = 25.58кН·м;

M_B = 49.42кН·м.

2. Построение эпюр крутящего момента для схемы на рис.2

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 1.5м)

M_z1 = -M_A = 25.58кН·м.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 0.5м)

M_z2 = -M_A = 25.58кН·м.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 0.5м)

M_z3 = M - M_A = -19.42кН·м.

Участок №4 (0 ≤ z₄ ≤ 1.2м)

M_z4 = m·z₄ - M_A + M;

при z₄ = 0; M_z4 = -19.42кН·м.

при z₄ = 1.2м; M_z4 = -49.42кН·м.

3. Подбор размеров поперечных сечений из условия прочности.

Условие обеспечения прочности, т.е. не превышения допустимого напряжения записывается в виде следующей формулы:

Данная формула означает, что максимальное напряжение не должно превышать допустимое напряжение [τ] с запасом n.

Для подбора размеров поперечных сечений из условия прочности сначала выразим полярный момент сопротивления сечения каждого стержня через параметр D.

${\displaystyle W_1=\frac{\pi D_1^3}{16}(1-{\left(\frac{d_1}{D_1}\right)}^3)=\frac{\pi ·{(2.5·D)}^3}{16}(1-{0.7}^3)=2.3313·D^3\text{;}}$

${\displaystyle W_2=\frac{\pi D_2^3}{16}=\frac{\pi ·{(1·D)}^3}{16}=0.19635·D^3\text{;}}$

${\displaystyle W_3=\frac{\pi D_3^3}{16}(1-{\left(\frac{d_3}{D_3}\right)}^3)=\frac{\pi ·{(2·D)}^3}{16}(1-{0.8}^3)=0.9274·D^3\text{.}}$

Обобщая приведённые выше выражения, полярный момент сопротивления любого i-го стержня можно представить в следующем виде:

${\displaystyle W_i=S_i·D^3\text{,}}$

где предположим, что S_i - коэффициент, характеризующий свойства сечения каждого стержня. Подставим полученное выражение полярного момента сопротивления сечения в формулу обеспечения прочности (3) и выразим параметр D:

${\displaystyle D_i\ge \sqrt[3]{\frac{n\left|M_i^{\max }\right|}{S_i\left[\tau \right]}}\text{.}}$

В соответствии с полученным выражением вычислим параметр D для каждого стержня.

${\displaystyle D_1\ge \sqrt[3]{\frac{2·25580}{2.3313·8·{10}^7}}=0.064975\text{м}=6.4975\text{см;}}$

${\displaystyle D_2\ge \sqrt[3]{\frac{2·25580}{0.19635·8·{10}^7}}=0.14823\text{м}=14.823\text{см;}}$

${\displaystyle D_3\ge \sqrt[3]{\frac{2·49420}{0.9274·8·{10}^7}}=0.11003\text{м}=11.003\text{см.}}$

Наибольшее значение параметра D получилось на стержне №2 (D₂ = 14.823см).

4. Подбор размеров поперечных сечений из условия жёсткости.

Условие обеспечения жёсткости, т.е. не превышения допустимого относительного углового перемещения записывается в виде следующей формулы:

Данная формула означает, что максимальное относительное угловое перемещение не должно превышать допустимого значения [θ].

Для подбора размеров поперечных сечений из условия жёсткости сначала выразим полярный момент инерции сечения каждого стержня через параметр D.

${\displaystyle J_1=\frac{\pi D_1^4}{32}(1-{\left(\frac{d_1}{D_1}\right)}^4)=\frac{\pi ·{(2.5·D)}^4}{32}(1-{0.7}^4)=2.9142·D^4\text{;}}$

${\displaystyle J_2=\frac{\pi D_2^4}{32}=\frac{\pi ·{(1·D)}^4}{32}=0.098175·D^4\text{;}}$

${\displaystyle J_3=\frac{\pi D_3^4}{32}(1-{\left(\frac{d_3}{D_3}\right)}^4)=\frac{\pi ·{(2·D)}^4}{32}(1-{0.8}^4)=0.9274·D^4\text{.}}$

Обобщая приведённые выше выражения, полярный момент инерции сечения любого i-го стержня можно представить в следующем виде:

${\displaystyle J_i=P_i·D^4\text{,}}$

где предположим, что P_i - коэффициент, характеризующий свойства сечения каждого стержня. Подставим полученное выражение полярного момента инерции в формулу обеспечения жёсткости (4) и выразим параметр D:

${\displaystyle D_i\ge \sqrt[4]{\frac{\left|M_i^{\max }\right|}{G_i{P}_i\left[\theta \right]}}\text{.}}$

В соответствии с полученным выражением вычислим параметр D для каждого стержня. Величина [θ] в расчёте переведена из град./м в рад./м.

${\displaystyle D_1=\sqrt[4]{\frac{25580}{8·{10}^{10}·2.9142·1·\pi /180}}=0.050073\text{м}=5.0073\text{см;}}$

${\displaystyle D_2=\sqrt[4]{\frac{25580}{8·{10}^{10}·0.098175·1·\pi /180}}=0.11688\text{м}=11.688\text{см;}}$

${\displaystyle D_3=\sqrt[4]{\frac{49420}{8·{10}^{10}·0.9274·1·\pi /180}}=0.078599\text{м}=7.8599\text{см.}}$

Наибольшее значение параметра D получилось на стержне №2 (D₂ = 11.688см).

5. Определение размеров поперечных сечений стержней.

Сопоставляя результаты расчета на прочность и жёсткость, принимаем большее значение параметра D = 14.823см. Данное значение будет использовано для определения размеров поперечных сечений стержней.

Стержень №1:

${\displaystyle D_1=2.5·D=37.057\text{см;}}$

${\displaystyle d_1=25.94\text{см;}}$

${\displaystyle J_1=\frac{\pi D_1^4}{32}(1-{\left(\frac{d_1}{D_1}\right)}^4)=140689{\text{см}}^4=1.4069·{10}^{-3}{\text{м}}^4\text{;}}$

${\displaystyle W_1=\frac{\pi D_1^3}{16}(1-{\left(\frac{d_1}{D_1}\right)}^3)=7593{\text{см}}^3=7.593·{10}^{-3}{\text{м}}^3\text{.}}$

Стержень №2:

${\displaystyle D_2=1·D=14.823\text{см;}}$

${\displaystyle J_2=\frac{\pi D_2^4}{32}=4739.6{\text{см}}^4=4.7396·{10}^{-5}{\text{м}}^4\text{;}}$

${\displaystyle W_2=\frac{\pi D_2^3}{16}=639.5{\text{см}}^3=6.395·{10}^{-4}{\text{м}}^3\text{.}}$

Стержень №3:

${\displaystyle D_3=2·D=29.646\text{см;}}$

${\displaystyle d_3=23.717\text{см;}}$

${\displaystyle J_3=\frac{\pi D_3^4}{32}(1-{\left(\frac{d_3}{D_3}\right)}^4)=44772{\text{см}}^4=4.4772·{10}^{-4}{\text{м}}^4\text{;}}$

${\displaystyle W_3=\frac{\pi D_3^3}{16}(1-{\left(\frac{d_3}{D_3}\right)}^3)=3020.5{\text{см}}^3=3.0205·{10}^{-3}{\text{м}}^3\text{.}}$

6. Построение эпюр касательных напряжений и угловых перемещений для схемы на рис.2

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 1.5м)

τ₁ = M₁/W₁ = 3.3689МПа.

ϕ₁ = -M_A·z₁/(GJ₁);

при z₁ = 0; ϕ₁ = 0.

при z₁ = 1.5м; ϕ₁ = 3.4091·10^-4рад.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 0.5м)

τ₂ = M₂/W₂ = 40МПа.

ϕ₂ = ϕ₁[z=1.5м] - M_A·z₂/(GJ₂);

при z₂ = 0; ϕ₂ = 3.4091·10^-4рад.

при z₂ = 0.5м; ϕ₂ = 3.714·10^-3рад.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 0.5м)

τ₃ = M₃/W₂ = -30.368МПа.

ϕ₃ = ϕ₂[z=0.5м] + M·z₃/(GJ₂) - M_A·z₃/(GJ₂);

при z₃ = 0; ϕ₃ = 3.714·10^-3рад.

при z₃ = 0.5м; ϕ₃ = 1.1532·10^-3рад.

Участок №4 (0 ≤ z₄ ≤ 1.2м)

τ₄ = M₄/W₃;

при z₄ = 0; τ₄ = -6.4295МПа.

при z₄ = 1.2м; τ₄ = -16.362МПа.

ϕ₄ = ϕ₃[z=0.5м] + m·z₄²/(GJ₃) - M_A·z₄/(GJ₃) + M·z₄/(GJ₃);

при z₄ = 0; ϕ₄ = 1.1532·10^-3рад.

при z₄ = 1.2м; ϕ₄ = 0.