Примеры. Расчёт осевого растяжения и сжатия ступенчатого стержня

Примеры

Ниже приведены примеры расчётов в том виде, в котором их рассчитывает и предоставляет данный сервис. Для просмотра интересующего примера кликните на соответствующую иллюстрацию расчётной модели.

Разноцветные пометки обозначают выполнение в расчётах следующих дополнений:

• - подбор сечения исходя из обеспечения условия прочности;
• - статическая неопределимость;
• - разные материалы стержней;
• - статическая неопределимость с зазором между стержнем и опорой;
• - тепловое воздействие.

Одиночный стержень

ОТЧЁТ

Исходные данные

L₁ = 5.5м;

E = 2·10⁵МПа;

A₁ = 25см²;

F₁ = 36кН;

q = 18кН/м;

F₂ = 24кН.

Рис. 1. Заданная схема.

Расчёт

1. Определение реакций опор для схемы на рис.1

Для определения реакции левой опоры составим уравнение статики:

\sum F_{z} = F_{1} + q \cdot 3.5 м - F_{2} - R_{A} = 0 .

(1)

Решение уравнения (1) даёт следующее значение реакции:

R_A = 75кН.

Рис. 2. Реакции и нагрузки

Рис. 3. Эпюра N, кН (осевая сила)

Рис. 4. Эпюра напряжений σ, МПа

Рис. 5. Эпюра перемещений u, мм

2. Построение эпюр осевой силы, напряжений и перемещений для схемы на рис.2

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 2м)

N₁ = R_A = 75кН.

σ₁ = N₁/A₁ = 30МПа.

u₁ = R_A·z₁/(EA₁);

при z₁ = 0; u₁ = 0.

при z₁ = 2м; u₁ = 0.3мм.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 3.5м)

N₂ = -F₁ - q·z₂ + R_A;

при z₂ = 0; N₂ = 39кН.

при z₂ = 3.5м; N₂ = -24кН.

σ₂ = N₂/A₁;

при z₂ = 0; σ₂ = 15.6МПа.

при z₂ = 3.5м; σ₂ = -9.6МПа.

u₂ = u₁[z=2м] - F₁·z₂/(EA₁) - q·z₂²/(EA₁) + R_A·z₂/(EA₁);

при z₂ = 0; u₂ = 0.3мм.

при z₂ = 2.1667м; u₂ = 0.3845мм.

при z₂ = 3.5м; u₂ = 0.3525мм.

[•]

ОТЧЁТ

Исходные данные

L₁ = 1м;

L₂ = 1.2м;

L₃ = 0.8м;

E = 2·10⁵МПа;

A₁ = 1.5·A;

A₂ = 2·A;

A₃ = 1·A;

F₁ = 40кН;

F₂ = 15кН;

q = 27кН/м;

[σ] = 100МПа;

n = 1.5.

Рис. 1. Заданная схема.

Расчёт

1. Определение реакций опор для схемы на рис.1

Для определения реакции левой опоры составим уравнение статики:

\sum F_{z} = F_{1} - F_{2} + q \cdot 1 м - R_{A} = 0 .

(1)

Решение уравнения (1) даёт следующее значение реакции:

R_A = 52кН.

Рис. 2. Реакции и нагрузки

Рис. 3. Эпюра N, кН (осевая сила)

Рис. 4. Эпюра напряжений σ, МПа

Рис. 5. Эпюра перемещений u, мм

2. Построение эпюр осевой силы для схемы на рис.2

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 1м)

N₁ = R_A - q·z₁;

при z₁ = 0; N₁ = 52кН.

при z₁ = 1м; N₁ = 25кН.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 0.4м)

N₂ = R_A - q·1м = 25кН.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 0.8м)

N₃ = -F₁ + R_A - q·1м = -15кН.

Участок №4 (0 ≤ z₄ ≤ 0.8м)

N₄ = R_A - q·1м - F₁ = -15кН.

3. Подбор размеров поперечных сечений.

Рассчитаем площадь поперечного сечения каждого стержня исходя из того, что максимальное напряжение на каждом стержне не должно превышать допустимого напряжения [σ] с запасом n:

σ_{i} = \frac{n | N_{i}^{\max} |}{A_{i}} \leq [σ] .

(2)

Теперь из формулы (2) выразим значение площади сечения i-го стержня, при котором будет обеспечено выполнение условия прочности:

A_{i} \geq \frac{n | N_{i}^{\max} |}{[σ]} .

(3)

Выполним расчёт площади сечения каждого стержня по формуле (3).

Стержень №1:

$A_{1} = \frac{1.5 \cdot 5.2 \cdot 10^{4}}{1 \cdot 10^{8}} = 7.8 \cdot 10^{-4} м^{2} = 7.8 {см}^{2};$

$A_{1} = 1.5 \cdot A; → A = \frac{A_{1}}{1.5} = 5.2 {см}^{2} .$

Стержень №2:

$A_{2} = \frac{1.5 \cdot 2.5 \cdot 10^{4}}{1 \cdot 10^{8}} = 3.75 \cdot 10^{-4} м^{2} = 3.75 {см}^{2};$

$A_{2} = 2 \cdot A; → A = \frac{A_{2}}{2} = 1.875 {см}^{2} .$

Стержень №3:

$A_{3} = \frac{1.5 \cdot 1.5 \cdot 10^{4}}{1 \cdot 10^{8}} = 2.25 \cdot 10^{-4} м^{2} = 2.25 {см}^{2};$

$A_{3} = 1 \cdot A; → A = \frac{A_{3}}{1} = 2.25 {см}^{2} .$

Наибольшее значение параметра A получилось на стержне №1 (A = 5.2см²). Принимаем это значение за окончательное для определения значений площадей поперечных сечений на всех стержнях:

A₁ = 1.5·A = 7.8·10^-4м² = 7.8см²,

A₂ = 2·A = 1.04·10^-3м² = 10.4см²,

A₃ = 1·A = 5.2·10^-4м² = 5.2см².

Определим параметры сечения каждого стержня. Радиус сечения определится по следующей формуле:

$R_{i} = \sqrt{\frac{A_{i}}{π}} .$

Радиус сечения каждого стержня соответственно будет равен:

R₁ = 15.757мм,

R₂ = 18.195мм,

R₃ = 12.866мм.

4. Построение эпюр напряжений и перемещений для схемы на рис.2

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 1м)

σ₁ = N₁/A₁;

при z₁ = 0; σ₁ = 66.667МПа.

при z₁ = 1м; σ₁ = 32.051МПа.

u₁ = R_A·z₁/(EA₁) - q·z₁²/(EA₁);

при z₁ = 0; u₁ = 0.

при z₁ = 1м; u₁ = 0.24679мм.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 0.4м)

σ₂ = N₂/A₂ = 24.038МПа.

u₂ = u₁[z=1м] + R_A·z₂/(EA₂) - q·1м·z₂/(EA₂);

при z₂ = 0; u₂ = 0.24679мм.

при z₂ = 0.4м; u₂ = 0.29487мм.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 0.8м)

σ₃ = N₃/A₂ = -14.423МПа.

u₃ = u₂[z=0.4м] - F₁·z₃/(EA₂) + R_A·z₃/(EA₂) - q·1м·z₃/(EA₂);

при z₃ = 0; u₃ = 0.29487мм.

при z₃ = 0.8м; u₃ = 0.23718мм.

Участок №4 (0 ≤ z₄ ≤ 0.8м)

σ₄ = N₄/A₃ = -28.846МПа.

u₄ = u₃[z=0.8м] + R_A·z₄/(EA₃) - q·1м·z₄/(EA₃) - F₁·z₄/(EA₃);

при z₄ = 0; u₄ = 0.23718мм.

при z₄ = 0.8м; u₄ = 0.12179мм.

[••]

ОТЧЁТ

Исходные данные

L₁ = 2м;

L₂ = 1.2м;

E = 2·10⁵МПа;

A₁ = 1.75·A;

A₂ = 1·A;

F₁ = 50кН;

F₂ = 25кН;

[σ] = 120МПа;

n = 2.

Рис. 1. Заданная схема.

Расчёт

1. Определение реакций опор для схемы на рис.1

Согласно исходной схеме в процессе деформирования стержня будет участвовать левая и правая опоры. Каждая опора даст реакцию, поэтому реакций будет две.

Для определения реакций можно составить только одно уравнение статического равновесия:

\sum F_{z} = F_{1} + F_{2} - R_{A} - R_{B} = 0 .

(1)

Поскольку в этом единственно возможном уравнении статики два неизвестных R_A и R_B, данная задача статически неопределима. Степень статической неопределимости: n = 2 – 1 = 1 – задача один раз статически неопределимая. Для раскрытия статической неопределимости требуется составить одно дополнительное уравнение. Дополнительное уравнение составляем исходя из того, что перемещение правого конца стержня будет равно нолю, так как в правом конце стержня установлена неподвижная опора. Запишем сумму перемещений правого конца стержня от каждой нагрузки и реакции R_B, и приравняем эту сумму нолю:

Δ l = {Δ l}_{F_{1}} + {Δ l}_{F_{2}} + {Δ l}_{R_{B}} = 0,

(2)

где,

${Δ l}_{F_{1}} = \frac{F_{1} \cdot 0.5 \cdot L_{1}}{E A_{1}} = \frac{5 \cdot 10^{4} \cdot 1}{2 \cdot 10^{11} \cdot 1.75 · A} = \frac{1.4286 \cdot 10^{-7}}{A};$

${Δ l}_{F_{2}} = \frac{F_{2}}{E} (\frac{L_{1}}{A_{1}} + \frac{0.29167 \cdot L_{2}}{A_{2}}) = \frac{2.5 \cdot 10^{4}}{2 \cdot 10^{11}} (\frac{2}{1.75 · A} + \frac{0.35}{1 · A}) = \frac{1.8661 \cdot 10^{-7}}{A};$

${Δ l}_{R_{B}} = \frac{- R_{B}}{E} (\frac{L_{1}}{A_{1}} + \frac{L_{2}}{A_{2}}) = \frac{- R_{B}}{2 \cdot 10^{11}} (\frac{2}{1.75 · A} + \frac{1.2}{1 · A}) = \frac{- 1.1714 \cdot 10^{-11}}{A} \cdot R_{B} .$

Поскольку на данном этапе площадь сечения каждого стержня выражается через параметр A, перемещения также выражены через параметр A. Полученные перемещения подставляются в уравнение (2), параметр A сокращается, затем выражается и определяется реакция R_B. Далее значение R_B подставляется в уравнение (1) откуда определяется реакция R_A. В результате получаются следующие значения реакций:

R_A = 46.875кН;

R_B = 28.125кН.

Рис. 2. Реакции и нагрузки

Рис. 3. Эпюра N, кН (осевая сила)

Рис. 4. Эпюра напряжений σ, МПа

Рис. 5. Эпюра перемещений u, мм

2. Построение эпюр осевой силы для схемы на рис.2

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 1м)

N₁ = R_A = 46.875кН.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 1м)

N₂ = -F₁ + R_A = -3.125кН.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 0.35м)

N₃ = R_A - F₁ = -3.125кН.

Участок №4 (0 ≤ z₄ ≤ 0.85м)

N₄ = -F₂ + R_A - F₁ = -28.125кН.

3. Подбор размеров поперечных сечений.

σ_{i} = \frac{n | N_{i}^{\max} |}{A_{i}} \leq [σ] .

(3)

Теперь из формулы (3) выразим значение площади сечения i-го стержня, при котором будет обеспечено выполнение условия прочности:

A_{i} \geq \frac{n | N_{i}^{\max} |}{[σ]} .

(4)

Выполним расчёт площади сечения каждого стержня по формуле (4).

Стержень №1:

$A_{1} = \frac{2 \cdot 46875}{1.2 \cdot 10^{8}} = 7.8125 \cdot 10^{-4} м^{2} = 7.8125 {см}^{2};$

$A_{1} = 1.75 \cdot A; → A = \frac{A_{1}}{1.75} = 4.4643 {см}^{2} .$

Стержень №2:

$A_{2} = \frac{2 \cdot 28125}{1.2 \cdot 10^{8}} = 4.6875 \cdot 10^{-4} м^{2} = 4.6875 {см}^{2};$

$A_{2} = 1 \cdot A; → A = \frac{A_{2}}{1} = 4.6875 {см}^{2} .$

Наибольшее значение параметра A получилось на стержне №2 (A = 4.6875см²). Принимаем это значение за окончательное для определения значений площадей поперечных сечений на всех стержнях:

A₁ = 1.75·A = 8.2031·10^-4м² = 8.2031см²,

A₂ = 1·A = 4.6875·10^-4м² = 4.6875см².

Определим параметры сечения каждого стержня. Радиус сечения определится по следующей формуле:

$R_{i} = \sqrt{\frac{A_{i}}{π}} .$

Радиус сечения каждого стержня соответственно будет равен:

R₁ = 16.159мм,

R₂ = 12.215мм.

4. Построение эпюр напряжений и перемещений для схемы на рис.2

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 1м)

σ₁ = N₁/A₁ = 57.143МПа.

u₁ = R_A·z₁/(EA₁);

при z₁ = 0; u₁ = 0.

при z₁ = 1м; u₁ = 0.28571мм.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 1м)

σ₂ = N₂/A₁ = -3.8095МПа.

u₂ = u₁[z=1м] - F₁·z₂/(EA₁) + R_A·z₂/(EA₁);

при z₂ = 0; u₂ = 0.28571мм.

при z₂ = 1м; u₂ = 0.26667мм.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 0.35м)

σ₃ = N₃/A₂ = -6.6667МПа.

u₃ = u₂[z=1м] + R_A·z₃/(EA₂) - F₁·z₃/(EA₂);

при z₃ = 0; u₃ = 0.26667мм.

при z₃ = 0.35м; u₃ = 0.255мм.

Участок №4 (0 ≤ z₄ ≤ 0.85м)

σ₄ = N₄/A₂ = -60МПа.

u₄ = u₃[z=0.35м] - F₂·z₄/(EA₂) + R_A·z₄/(EA₂) - F₁·z₄/(EA₂);

при z₄ = 0; u₄ = 0.255мм.

при z₄ = 0.85м; u₄ = 0.

[•••]

ОТЧЁТ

Исходные данные

L₁ = 1м;

L₂ = 1.5м;

E₁ = 2·10⁵МПа;

E₂ = 1·10⁵МПа;

A₁ = 18см²;

A₂ = 12см²;

F₁ = 55кН;

F₂ = 9кН;

∆ = 0.1мм;

ΔT₁ = 45°C;

α₁ = 16.5·10^-6/°C.

Рис. 1. Заданная схема.

Расчёт

1. Определение реакций опор для схемы на рис.1

Ход решения задачи будет зависеть от того будет или не будет перекрыт зазор правой опоры под действием нагрузки на стержень. Для этого определим величину перемещения правого конца стержня без учёта влияния правой опоры. Данная величина будет складываться из перемещений от каждой нагрузки. Определим эти перемещения:

${Δ l}_{F_{1}} = \frac{F_{1} \cdot L_{1}}{E_{1} A_{1}} = \frac{5.5 \cdot 10^{4} \cdot 1}{2 \cdot 10^{11} \cdot 1.8 \cdot 10^{-3}} = 1.5278 \cdot 10^{-4} м = 0.15278 мм;$

${Δ l}_{F_{2}} = - F_{2} (\frac{L_{1}}{E_{1} A_{1}} + \frac{0.66667 \cdot L_{2}}{E_{2} A_{2}}) = - 9 \cdot 10^{3} \cdot (\frac{1}{2 \cdot 10^{11} \cdot 1.8 \cdot 10^{-3}} + \frac{1}{1 \cdot 10^{11} \cdot 1.2 \cdot 10^{-3}}) = - 1 \cdot 10^{-4} м = - 0.1 мм;$

${Δ l}_{T} = α_{1} \cdot {Δ T}_{1} \cdot L_{2} = 1.65 \cdot 10^{-5} \cdot 45 \cdot 1.5 = 1.1137 \cdot 10^{-3} м = 1.1138 мм .$

Суммируем перечисленные перемещения и получаем перемещение правого конца стержня:

Δ l = {Δ l}_{F_{1}} + {Δ l}_{F_{2}} + {Δ l}_{T} = 1.1665 \cdot 10^{-3} м = 1.1665 мм .

(1)

Полученное перемещение $Δ l$ больше зазора правой опоры ∆ = 0.1мм. Поэтому в процессе деформирования стержня будет участвовать не только левая, но и правая опора. Так как каждая опора даст реакцию, реакций будет две. Для определения реакций можно составить только одно уравнение статического равновесия:

\sum F_{z} = F_{1} - F_{2} + R_{A} - R_{B} = 0 .

(2)

Поскольку в этом единственно возможном уравнении статики два неизвестных R_A и R_B, данная задача статически неопределима. Степень статической неопределимости: n = 2 – 1 = 1 – задача один раз статически неопределимая. Для раскрытия статической неопределимости требуется составить одно дополнительное уравнение. Дополнительное уравнение составляем из условия деформации стержня: перемещение правого конца стержня от всей нагрузки и реакции R_B равно величине зазора, т.е.:

Δ l + {Δ l}_{R_{B}} = ∆

(3)

где,

$Δ l$ – перемещение правого конца стержня от всей нагрузки, определённое из уравнения (1);

$∆$ – величина зазора между правым торцем стержня и правой опорой (∆ = 0.1мм);

${Δ l}_{R_{B}}$ – перемещение правого конца стержня от реакции R_B, которое выразится следующим образом:

${Δ l}_{R_{B}} = - R_{B} (\frac{L_{1}}{E_{1} A_{1}} + \frac{L_{2}}{E_{2} A_{2}}) = - R_{B} \cdot (\frac{1}{2 \cdot 10^{11} \cdot 1.8 \cdot 10^{-3}} + \frac{1.5}{1 \cdot 10^{11} \cdot 1.2 \cdot 10^{-3}}) = - 1.5278 \cdot 10^{-8} \cdot R_{B}$

Из уравнения (3) выражается и определяется реакция R_B. Затем значение R_B подставляется в уравнение (2) откуда определяется реакция R_A. В результате получаются следующие значения реакций:

R_A = 23.809кН;

R_B = 69.809кН.

Рис. 2. Реакции и нагрузки

Рис. 3. Эпюра N, кН (осевая сила)

Рис. 4. Эпюра напряжений σ, МПа

Рис. 5. Эпюра перемещений u, мм

2. Построение эпюр осевой силы, напряжений и перемещений для схемы на рис.2

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 1м)

N₁ = -R_A = -23.809кН.

σ₁ = N₁/A₁ = -13.227МПа.

u₁ = -R_A·z₁/(E₁A₁);

при z₁ = 0; u₁ = 0.

при z₁ = 1м; u₁ = -0.066136мм.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 1м)

N₂ = -F₁ - R_A = -78.809кН.

σ₂ = N₂/A₂ = -65.674МПа.

u₂ = u₁[z=1м] - F₁·z₂/(E₂A₂) - R_A·z₂/(E₂A₂) + α₁ΔT₁·z₂;

при z₂ = 0; u₂ = -0.066136мм.

при z₂ = 1м; u₂ = 0.019621мм.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 0.5м)

N₃ = F₂ - R_A - F₁ = -69.809кН.

σ₃ = N₃/A₂ = -58.174МПа.

u₃ = u₂[z=1м] + F₂·z₃/(E₂A₂) - R_A·z₃/(E₂A₂) - F₁·z₃/(E₂A₂) + α₁ΔT₁·z₃;

при z₃ = 0; u₃ = 0.019621мм.

при z₃ = 0.5м; u₃ = 0.1мм.