Примеры. Расчёт геометрических характеристик сложного поперечного сечения

Примечание. Поля PDF эскиза сформированы под штамп 15мм.

PDF эскиз сечения в масштабе (A4) - скачать | открыть

DXF эскиз сечения в масштабе - скачать

ОТЧЁТ

Исходные данные

Расчёт

1. Определение площади всего сечения

A = ∑A_i = 22.2 + 30.04 = 52.24см²,

где, A_i - площадь i-го профиля.

2. Определение положения центра тяжести сечения

x_C = ∑(A_i · x_i)/A = (22.2 · 18.13 + 30.04 · 10.68) / 52.24 = 13.85см,

y_C = ∑(A_i · y_i)/A = (22.2 · 9 + 30.04 · 19.64) / 52.24 = 15.12см,

где, x_i, y_i - координаты центра тяжести i-го профиля в системе координат XY.

3. Определение моментов инерции всего сечения относительно центральной системы координат X_CY_C.

J_XC = ∑J⁽ⁱ⁾_XC,

J_YC = ∑J⁽ⁱ⁾_YC,

J_XCYC = ∑J⁽ⁱ⁾_XCYC,

где, J_XC, J_YC, J_XCYC - осевые моменты и центробежный момент инерции сечения соответственно, J⁽ⁱ⁾_XC, J⁽ⁱ⁾_YC, J⁽ⁱ⁾_XCYC - осевые моменты и центробежный момент инерции i-го профиля, которые определяются по следующим формулам:

J⁽ⁱ⁾_XC = J_xi + a_i²·A_i,

J⁽ⁱ⁾_YC = J_yi + b_i²·A_i,

J⁽ⁱ⁾_XCYC = J_xiyi + a_i·b_i·A_i,

где, a_i = y_i - y_C, b_i = x_i - x_C - смещения центра тяжести i-го профиля по осям Y_C и X_C соответственно.

Определим смещения центра тяжести каждого профиля.

Для профиля №1 "Швеллер №18a":

a₁ = 9 - 15.12 = -6.12см,

b₁ = 18.13 - 13.85 = 4.28см.

Для профиля №2 "Уголок 160x100x12":

a₂ = 19.64 - 15.12 = 4.52см,

b₂ = 10.68 - 13.85 = -3.17см.

Далее определим осевые моменты и центробежный момент инерции каждого профиля.

Для профиля №1 "Швеллер №18a":

J⁽¹⁾_XC = 1190 + (-6.12)²· 22.2 = 2021.05см⁴,

J⁽¹⁾_YC = 105 + 4.28²· 22.2 = 512.44см⁴,

J⁽¹⁾_XCYC = 0 + (-6.12) · 4.28 · 22.2 = -581.89см⁴.

Для профиля №2 "Уголок 160x100x12":

J⁽²⁾_XC = 238.75 + 4.52²· 30.04 = 852.91см⁴,

J⁽²⁾_YC = 784.22 + (-3.17)²· 30.04 = 1085.32см⁴,

J⁽²⁾_XCYC = -249 + 4.52 · (-3.17) · 30.04 = -679.03см⁴.

Моменты инерции всего сечения относительно центральной системы координат X_CY_C будут равны:

J_XC = 2021.05 + 852.91 = 2873.97см⁴,

J_YC = 512.44 + 1085.32 = 1597.76см⁴,

J_XCYC = -581.89 - 679.03 = -1260.92см⁴.

4. Определение угла поворота главной центральной системы координат UV.

Тангенс угла поворота системы координат UV относительно системы координат X_CY_C определится по следующей формуле

tg(2α) = -2J_XCYC / (J_XC - J_YC) = -2·(-1260.92) / (2873.97 - 1597.76) = 1.976.

Откуда угол поворота будет равен

α = 31.58°.

Так как угол положителен, поворот системы координат UV выполняется против часовой стрелки.

5. Определение главных центральных моментов сечения

J_max,min = (J_XC + J_YC) / 2 ± ½·[(J_XC - J_YC)² + 4·J_XCYC²]^½ = (2873.97 + 1597.76) / 2 ± ½·[(2873.97 - 1597.76)² + 4·(-1260.92)²]^½ = 2235.86 ± 1413.19.

Следовательно,

J_min = J_V = 822.67см⁴; J_max = J_U = 3649.05см⁴.

6. Определение главных центральных моментов сопротивления сечения

Из определения моментов сопротивления сечения

W_U = J_U / |V_max|; W_V = J_V / |U_max|.

Из эскиза сечения найдем

|U_max| = 9.65см; |V_max| = 17.88см.

Главные центральные моменты сопротивления сечения будут равны

W_U = 3649.05 / 17.88 = 204.05см³; W_V = 822.67 / 9.65 = 85.27см³.

7. Определение главных радиусов инерции

i_V = i_min = (J_V / A)^½ = (822.67 / 52.24)^½ = 3.97см; i_U = i_max = (J_U / A)^½ = (3649.05 / 52.24)^½ = 8.36см.

Задача решена.

PDF эскиз сечения в масштабе (A4) - скачать | открыть

DXF эскиз сечения в масштабе - скачать

Примечания.
1. Названия осей координат были поменяны с X и Y на Y и Z.
2. PDF эскиз сечения сформирован без эллипса инерции. Для иллюстрации отчёта эллипс сохранён.

PDF эскиз сечения в масштабе (A4) - скачать | открыть

DXF эскиз сечения в масштабе - скачать

ОТЧЁТ

Исходные данные

Расчёт

1. Определение площади всего сечения

A = ∑A_i = 15.6 + 14.7 = 30.3см²,

где, A_i - площадь i-го профиля.

2. Определение положения центра тяжести сечения

y_C = ∑(A_i · y_i)/A = (15.6 · 4.13 + 14.7 · 11.8) / 30.3 = 7.85см,

z_C = ∑(A_i · z_i)/A = (15.6 · 7 + 14.7 · 9.8) / 30.3 = 8.36см,

где, y_i, z_i - координаты центра тяжести i-го профиля в системе координат YZ.

3. Определение моментов инерции всего сечения относительно центральной системы координат Y_CZ_C.

J_YC = ∑J⁽ⁱ⁾_YC,

J_ZC = ∑J⁽ⁱ⁾_ZC,

J_YCZC = ∑J⁽ⁱ⁾_YCZC,

где, J_YC, J_ZC, J_{Y CZC} - осевые моменты и центробежный момент инерции сечения соответственно, J⁽ⁱ⁾_YC, J⁽ⁱ⁾_ZC, J⁽ⁱ⁾_YCZC - осевые моменты и центробежный момент инерции i-го профиля, которые определяются по следующим формулам:

J⁽ⁱ⁾_YC = J_yi + a_i²·A_i,

J⁽ⁱ⁾_ZC = J_zi + b_i²·A_i,

J⁽ⁱ⁾_YCZC = J_yizi + a_i·b_i·A_i,

где, a_i = z_i - z_C, b_i = y_i - y_C - смещения центра тяжести i-го профиля по осям Z_C и Y_C соответственно.

Определим смещения центра тяжести каждого профиля.

Для профиля №1 "Швеллер №14":

a₁ = 7 - 8.36 = -1.36см,

b₁ = 4.13 - 7.85 = -3.72см.

Для профиля №2 "Двутавр №12":

a₂ = 9.8 - 8.36 = 1.44см,

b₂ = 11.8 - 7.85 = 3.95см.

Далее определим осевые моменты и центробежный момент инерции каждого профиля.

Для профиля №1 "Швеллер №14":

J⁽¹⁾_YC = 491.1 + (-1.36)²· 15.6 = 519.89см⁴,

J⁽¹⁾_ZC = 45.4 + (-3.72)²· 15.6 = 261.41см⁴,

J⁽¹⁾_YCZC = 0 + (-1.36) · (-3.72) · 15.6 = 78.85см⁴.

Для профиля №2 "Двутавр №12":

J⁽²⁾_YC = 27.9 + 1.44²· 14.7 = 58.45см⁴,

J⁽²⁾_ZC = 350 + 3.95²· 14.7 = 579.23см⁴,

J⁽²⁾_YCZC = 0 + 1.44 · 3.95 · 14.7 = 83.68см⁴.

Моменты инерции всего сечения относительно центральной системы координат Y_CZ_C будут равны:

J_YC = 519.89 + 58.45 = 578.34 см⁴,

J_ZC = 261.41 + 579.23 = 840.64 см⁴,

J_YCZC = 78.85 + 83.68 = 162.54см⁴.

4. Определение угла поворота главной центральной системы координат UV.

Тангенс угла поворота системы координат UV относительно системы координат Y_CZ_C определится по следующей формуле

tg(2α) = -2J_YCZC / (J_YC - J_ZC) = -2·162.54 / (578.34 - 840.64) = 1.2393.

Откуда угол поворота будет равен

α = 25.55°.

Так как угол положителен, поворот системы координат UV выполняется против часовой стрелки.

5. Определение главных центральных моментов сечения

J_max,min = (J_YC + J_ZC) / 2± ½·[(J_YC - J_ZC)² + 4·J_YCZC²]^½ = (578.34 + 840.64) / 2 ± ½·[(578.34 - 840.64)² + 4·162.54²]^½ = 709.49 ± 208.85.

Следовательно,

J_min = J_U = 500.63см⁴; J_max = J_V = 918.34см⁴.

6. Определение главных центральных моментов сопротивления сечения

Из определения моментов сопротивления сечения

W_U = J_U / |V_max|; W_V = J_V / |U_max|.

Из эскиза сечения найдем

|U_max| = 10.98см; |V_max| = 8.48см.

Главные центральные моменты сопротивления сечения будут равны

W_U = 500.63 / 8.48 = 59.06см³; W_V = 918.34 / 10.98 = 83.65см³.

7. Определение главных радиусов инерции

i_U = i_min = (J_U / A)^½ = (500.63 / 30.3)^½ = 4.06см; i_V = i_max = (J_V / A)^½ = (918.34 / 30.3)^½ = 5.51см.

Задача решена.

PDF эскиз сечения в масштабе (A4) - скачать | открыть

DXF эскиз сечения в масштабе - скачать

Примечание. Поля PDF эскиза сформированы под штамп 40мм.

PDF эскиз сечения в масштабе (A4) - скачать | открыть

DXF эскиз сечения в масштабе - скачать

ОТЧЁТ

Исходные данные

Расчёт

1. Определение площади всего сечения

A = ∑A_i = 7.39 + 6 = 13.39см²,

где, A_i - площадь i-го профиля.

2. Определение положения центра тяжести сечения

x_C = ∑(A_i · x_i)/A = (7.39 · 5.02 + 6 · 2) / 13.39 = 3.67см,

y_C = ∑(A_i · y_i)/A = (7.39 · 2.02 + 6 · 1.33) / 13.39 = 1.71см,

где, x_i, y_i - координаты центра тяжести i-го профиля в системе координат XY.

3. Определение моментов инерции всего сечения относительно центральной системы координат X_CY_C.

J_XC = ∑J⁽ⁱ⁾_XC,

J_YC = ∑J⁽ⁱ⁾_YC,

J_XCYC = ∑J⁽ⁱ⁾_XCYC,

где, J_XC, J_YC, J_{X CYC} - осевые моменты и центробежный момент инерции сечения соответственно, J⁽ⁱ⁾_XC, J⁽ⁱ⁾_YC, J⁽ⁱ⁾_XCYC - осевые моменты и центробежный момент инерции i-го профиля, которые определяются по следующим формулам:

J⁽ⁱ⁾_XC = J_xi + a_i²·A_i,

J⁽ⁱ⁾_YC = J_yi + b_i²·A_i,

J⁽ⁱ⁾_XCYC = J_xiyi + a_i·b_i·A_i,

где, a_i = y_i - y_C, b_i = x_i - x_C - смещения центра тяжести i-го профиля по осям Y_C и X_C соответственно.

Определим смещения центра тяжести каждого профиля.

Для профиля №1 "Уголок 75x75x5":

a₁ = 2.02 - 1.71 = 0.31см,

b₁ = 5.02 - 3.67 = 1.35см.

Для профиля №2 "Прямоуг. тр-к 30x40":

a₂ = 1.33 - 1.71 = -0.38см,

b₂ = 2 - 3.67 = -1.67см.

Далее определим осевые моменты и центробежный момент инерции каждого профиля.

Для профиля №1 "Уголок 75x75x5":

J⁽¹⁾_XC = 39.53 + 0.31²· 7.39 = 40.23см⁴,

J⁽¹⁾_YC = 39.53 + 1.35²· 7.39 = 53.06см⁴,

J⁽¹⁾_XCYC = 2 + 0.31 · 1.35 · 7.39 = -20.02см⁴.

Для профиля №2 "Прямоуг. тр-к 30x40":

J⁽²⁾_XC = 5.33 + (-0.38)²· 6 = 6.2см⁴,

J⁽²⁾_YC = 3 + (-1.67)²· 6 = 19.67см⁴,

J⁽²⁾_XCYC = 0 + (-0.38) · (-1.67) · 6 = 5.79см⁴.

Моменты инерции всего сечения относительно центральной системы координат X_CY_C будут равны:

J_XC = 40.23 + 6.2 = 46.42 см⁴,

J_YC = 53.06 + 19.67 = 72.73 см⁴,

J_XCYC = -20.02 + 5.79 = -14.23см⁴.

4. Определение угла поворота главной центральной системы координат UV.

Тангенс угла поворота системы координат UV относительно системы координат X_CY_C определится по следующей формуле

tg(2α) = -2J_XCYC / (J_XC - J_YC) = -2·(-14.23) / (46.42 - 72.73) = -1.0821.

Откуда угол поворота будет равен

α = -23.63°.

Так как угол отрицателен, поворот системы координат UV выполняется по часовой стрелке.

5. Определение главных центральных моментов сечения

J_max,min = (J_XC + J_YC) / 2± ½·[(J_XC - J_YC)² + 4·J_XCYC²]^½ = (46.42 + 72.73) / 2 ± ½·[(46.42 - 72.73)² + 4·(-14.23)²]^½ = 59.58 ± 19.38.

Следовательно,

J_min = J_U = 40.2см⁴; J_max = J_V = 78.96см⁴.

6. Определение главных центральных моментов сопротивления сечения

Из определения моментов сопротивления сечения

W_U = J_U / |V_max|; W_V = J_V / |U_max|.

Из эскиза сечения найдем

|U_max| = 6.95см; |V_max| = 5.14см.

Главные центральные моменты сопротивления сечения будут равны

W_U = 40.2 / 5.14 = 7.82см³; W_V = 78.96 / 6.95 = 11.37см³.

7. Определение главных радиусов инерции

i_U = i_min = (J_U / A)^½ = (40.2 / 13.39)^½ = 1.73см; i_V = i_max = (J_V / A)^½ = (78.96 / 13.39)^½ = 2.43см.

Задача решена.

PDF эскиз сечения в масштабе (A4) - скачать | открыть

DXF эскиз сечения в масштабе - скачать

Примечание. PDF эскиз сформирован без полей (не предусмотрено место под рамку или штамп).

PDF эскиз сечения в масштабе (A4) - скачать | открыть

DXF эскиз сечения в масштабе - скачать

ОТЧЁТ

Исходные данные

Расчёт

1. Определение площади всего сечения

A = ∑A_i = 20.2 + 19.63 = 39.83см²,

где, A_i - площадь i-го профиля.

2. Определение положения центра тяжести сечения

x_C = ∑(A_i · x_i)/A = (20.2 · 4.05 + 19.63 · 9.87) / 39.83 = 6.92см,

y_C = ∑(A_i · y_i)/A = (20.2 · 8 + 19.63 · 17.77) / 39.83 = 12.81см,

где, x_i, y_i - координаты центра тяжести i-го профиля в системе координат XY.

3. Определение моментов инерции всего сечения относительно центральной системы координат X_CY_C.

J_XC = ∑J⁽ⁱ⁾_XC,

J_YC = ∑J⁽ⁱ⁾_YC,

J_XCYC = ∑J⁽ⁱ⁾_XCYC,

где, J_XC, J_YC, J_{X CYC} - осевые моменты и центробежный момент инерции сечения соответственно, J⁽ⁱ⁾_XC, J⁽ⁱ⁾_YC, J⁽ⁱ⁾_XCYC - осевые моменты и центробежный момент инерции i-го профиля, которые определяются по следующим формулам:

J⁽ⁱ⁾_XC = J_xi + a_i²·A_i,

J⁽ⁱ⁾_YC = J_yi + b_i²·A_i,

J⁽ⁱ⁾_XCYC = J_xiyi + a_i·b_i·A_i,

где, a_i = y_i - y_C, b_i = x_i - x_C - смещения центра тяжести i-го профиля по осям Y_C и X_C соответственно.

Определим смещения центра тяжести каждого профиля.

Для профиля №1 "Двутавр №16":

a₁ = 8 - 12.81 = -4.81см,

b₁ = 4.05 - 6.92 = -2.87см.

Для профиля №2 "Круг R25":

a₂ = 17.77 - 12.81 = 4.95см,

b₂ = 9.87 - 6.92 = 2.95см.

Далее определим осевые моменты и центробежный момент инерции каждого профиля.

Для профиля №1 "Двутавр №16":

J⁽¹⁾_XC = 873 + (-4.81)²· 20.2 = 1341.24см⁴,

J⁽¹⁾_YC = 58.6 + (-2.87)²· 20.2 = 224.71см⁴,

J⁽¹⁾_XCYC = 0 + (-4.81) · (-2.87) · 20.2 = 278.89см⁴.

Для профиля №2 "Круг R25":

J⁽²⁾_XC = 30.68 + 4.95²· 19.63 = 512.4см⁴,

J⁽²⁾_YC = 30.68 + 2.95²· 19.63 = 201.57см⁴,

J⁽²⁾_XCYC = 0 + 4.95 · 2.95 · 19.63 = 286.92см⁴.

Моменты инерции всего сечения относительно центральной системы координат X_CY_C будут равны:

J_XC = 1341.24 + 512.4 = 1853.64 см⁴,

J_YC = 224.71 + 201.57 = 426.28 см⁴,

J_XCYC = 278.89 + 286.92 = 565.81см⁴.

4. Определение угла поворота главной центральной системы координат UV.

Тангенс угла поворота системы координат UV относительно системы координат X_CY_C определится по следующей формуле

tg(2α) = -2J_XCYC / (J_XC - J_YC) = -2·565.81 / (1853.64 - 426.28) = -0.7928.

Откуда угол поворота будет равен

α = -19.2°.

Так как угол отрицателен, поворот системы координат UV выполняется по часовой стрелке.

5. Определение главных центральных моментов сечения

J_max,min = (J_XC + J_YC) / 2± ½·[(J_XC - J_YC)² + 4·J_XCYC²]^½ = (1853.64 + 426.28) / 2 ± ½·[(1853.64 - 426.28)² + 4·565.81²]^½ = 1139.96 ± 910.76.

Следовательно,

J_min = J_V = 229.2см⁴; J_max = J_U = 2050.72см⁴.

6. Определение главных центральных моментов сопротивления сечения

Из определения моментов сопротивления сечения

W_U = J_U / |V_max|; W_V = J_V / |U_max|.

Из эскиза сечения найдем

|U_max| = 7.58см; |V_max| = 14.38см.

Главные центральные моменты сопротивления сечения будут равны

W_U = 2050.72 / 14.38 = 142.64см³; W_V = 229.2 / 7.58 = 30.24см³.

7. Определение главных радиусов инерции

i_V = i_min = (J_V / A)^½ = (229.2 / 39.83)^½ = 2.4см; i_U = i_max = (J_U / A)^½ = (2050.72 / 39.83)^½ = 7.17см.

Задача решена.

PDF эскиз сечения в масштабе (A4) - скачать | открыть

DXF эскиз сечения в масштабе - скачать

Примечания.
1. Названия осей координат были поменяны с X и Y на Y и Z.
2. Поля PDF эскиза сформированы под штамп 40мм.

PDF эскиз сечения в масштабе (A3) - скачать | открыть

DXF эскиз сечения в масштабе - скачать

ОТЧЁТ

Исходные данные

Расчёт

1. Определение площади всего сечения

A = ∑A_i = 30.6 + 25 + 23.4 = 79см²,

где, A_i - площадь i-го профиля.

2. Определение положения центра тяжести сечения

y_C = ∑(A_i · y_i)/A = (30.6 · 11 + 25 · 22.5 + 23.4 · 33) / 79 = 21.16см,

z_C = ∑(A_i · z_i)/A = (30.6 · 5.5 + 25 · 12.5 + 23.4 · 22.93) / 79 = 12.88см,

где, y_i, z_i - координаты центра тяжести i-го профиля в системе координат YZ.

3. Определение моментов инерции всего сечения относительно центральной системы координат Y_CZ_C.

J_YC = ∑J⁽ⁱ⁾_YC,

J_ZC = ∑J⁽ⁱ⁾_ZC,

J_YCZC = ∑J⁽ⁱ⁾_YCZC,

где, J_YC, J_ZC, J_YCZC - осевые моменты и центробежный момент инерции сечения соответственно, J⁽ⁱ⁾_YC, J⁽ⁱ⁾_ZC, J⁽ⁱ⁾_YCZC - осевые моменты и центробежный момент инерции i-го профиля, которые определяются по следующим формулам:

J⁽ⁱ⁾_YC = J_yi + a_i²·A_i,

J⁽ⁱ⁾_ZC = J_zi + b_i²·A_i,

J⁽ⁱ⁾_YCZC = J_yizi + a_i·b_i·A_i,

где, a_i = z_i - z_C, b_i = y_i - y_C - смещения центра тяжести i-го профиля по осям Z_C и Y_C соответственно.

Определим смещения центра тяжести каждого профиля.

Для профиля №1 "Двутавр №22":

a₁ = 5.5 - 12.88 = -7.38см,

b₁ = 11 - 21.16 = -10.16см.

Для профиля №2 "Полоса 250x10":

a₂ = 12.5 - 12.88 = -0.38см,

b₂ = 22.5 - 21.16 = 1.34см.

Для профиля №3 "Швеллер №20":

a₃ = 22.93 - 12.88 = 10.05см,

b₃ = 33 - 21.16 = 11.84см.

Далее определим осевые моменты и центробежный момент инерции каждого профиля.

Для профиля №1 "Двутавр №22":

J⁽¹⁾_YC = 157 + (-7.38)²· 30.6 = 1822.71см⁴,

J⁽¹⁾_ZC = 2550 + (-10.16)²· 30.6 = 5706.03см⁴,

J⁽¹⁾_YCZC = 0 + (-7.38) · (-10.16) · 30.6 = 2292.82см⁴.

Для профиля №2 "Полоса 250x10":

J⁽²⁾_YC = 1302.08 + (-0.38)²· 25 = 1305.66см⁴,

J⁽²⁾_ZC = 2.08 + 1.34²· 25 = 47.26см⁴,

J⁽²⁾_YCZC = 0 + (-0.38) · 1.34 · 25 = -12.7см⁴.

Для профиля №3 "Швеллер №20":

J⁽³⁾_YC = 113 + 10.05²· 23.4 = 2477.4см⁴,

J⁽³⁾_ZC = 1520 + 11.84²· 23.4 = 4802.73см⁴,

J⁽³⁾_YCZC = 0 + 10.05 · 11.84 · 23.4 = 2785.98см⁴.

Моменты инерции всего сечения относительно центральной системы координат Y_CZ_C будут равны:

J_YC = 1822.71 + 1305.66 + 2477.4 = 5605.76 см⁴,

J_ZC = 5706.03 + 47.26 + 4802.73 = 10556.02 см⁴,

J_YCZC = 2292.82 - 12.7 + 2785.98 = 5066.09см⁴.

4. Определение угла поворота главной центральной системы координат UV.

Тангенс угла поворота системы координат UV относительно системы координат Y_CZ_C определится по следующей формуле

tg(2α) = -2J_YCZC / (J_YC - J_ZC) = -2·5066.09 / (5605.76 - 10556.02) = 2.0468.

Откуда угол поворота будет равен

α = 31.98°.

Так как угол положителен, поворот системы координат UV выполняется против часовой стрелки.

5. Определение главных центральных моментов сечения

J_max,min = (J_YC + J_ZC) / 2± ½·[(J_YC - J_ZC)² + 4·J_YCZC²]^½ = (5605.76 + 10556.02) / 2 ± ½·[(5605.76 - 10556.02)² + 4·5066.09²]^½ = 8080.89 ± 5638.4.

Следовательно,

J_min = J_U = 2442.49см⁴; J_max = J_V = 13719.29см⁴.

6. Определение главных центральных моментов сопротивления сечения

Из определения моментов сопротивления сечения

W_U = J_U / |V_max|; W_V = J_V / |U_max|.

Из эскиза сечения найдем

|U_max| = 24.95см; |V_max| = 11.9см.

Главные центральные моменты сопротивления сечения будут равны

W_U = 2442.49 / 11.9 = 205.25см³; W_V = 13719.29 / 24.95 = 549.89см³.

7. Определение главных радиусов инерции

i_U = i_min = (J_U / A)^½ = (2442.49 / 79)^½ = 5.56см; i_V = i_max = (J_V / A)^½ = (13719.29 / 79)^½ = 13.18см.

Задача решена.

PDF эскиз сечения в масштабе (A3) - скачать | открыть

DXF эскиз сечения в масштабе - скачать

Примечание. PDF эскиз сечения сформирован без эллипса инерции. Для иллюстрации отчёта эллипс сохранён.

PDF эскиз сечения в масштабе (A3) - скачать | открыть

DXF эскиз сечения в масштабе - скачать

ОТЧЁТ

Исходные данные

Расчёт

1. Определение площади всего сечения

A = ∑A_i = 26.8 + 14.06 + 13.3 = 54.16см²,

где, A_i - площадь i-го профиля.

2. Определение положения центра тяжести сечения

x_C = ∑(A_i · x_i)/A = (26.8 · 10.2 + 14.06 · 9.21 + 13.3 · 3.66) / 54.16 = 8.34см,

y_C = ∑(A_i · y_i)/A = (26.8 · 10 + 14.06 · 21.8 + 13.3 · 22) / 54.16 = 16.01см,

где, x_i, y_i - координаты центра тяжести i-го профиля в системе координат XY.

3. Определение моментов инерции всего сечения относительно центральной системы координат X_CY_C.

J_XC = ∑J⁽ⁱ⁾_XC,

J_YC = ∑J⁽ⁱ⁾_YC,

J_XCYC = ∑J⁽ⁱ⁾_XCYC,

где, J_XC, J_YC, J_{X CYC} - осевые моменты и центробежный момент инерции сечения соответственно, J⁽ⁱ⁾_XC, J⁽ⁱ⁾_YC, J⁽ⁱ⁾_XCYC - осевые моменты и центробежный момент инерции i-го профиля, которые определяются по следующим формулам:

J⁽ⁱ⁾_XC = J_xi + a_i²·A_i,

J⁽ⁱ⁾_YC = J_yi + b_i²·A_i,

J⁽ⁱ⁾_XCYC = J_xiyi + a_i·b_i·A_i,

где, a_i = y_i - y_C, b_i = x_i - x_C - смещения центра тяжести i-го профиля по осям Y_C и X_C соответственно.

Определим смещения центра тяжести каждого профиля.

Для профиля №1 "Двутавр №20":

a₁ = 10 - 16.01 = -6.01см,

b₁ = 10.2 - 8.34 = 1.86см.

Для профиля №2 "Уголок 125x80x7":

a₂ = 21.8 - 16.01 = 5.79см,

b₂ = 9.21 - 8.34 = 0.87см.

Для профиля №3 "Швеллер №12":

a₃ = 22 - 16.01 = 5.99см,

b₃ = 3.66 - 8.34 = -4.68см.

Далее определим осевые моменты и центробежный момент инерции каждого профиля.

Для профиля №1 "Двутавр №20":

J⁽¹⁾_XC = 1840 + (-6.01)²· 26.8 = 2808.06см⁴,

J⁽¹⁾_YC = 115 + 1.86²· 26.8 = 208.02см⁴,

J⁽¹⁾_XCYC = 0 + (-6.01) · 1.86 · 26.8 = -300.08см⁴.

Для профиля №2 "Уголок 125x80x7":

J⁽²⁾_XC = 73.73 + 5.79²· 14.06 = 545.06см⁴,

J⁽²⁾_YC = 226.53 + 0.87²· 14.06 = 237.25см⁴,

J⁽²⁾_XCYC = 0 + 5.79 · 0.87 · 14.06 = -3.63см⁴.

Для профиля №3 "Швеллер №12":

J⁽³⁾_XC = 304 + 5.99²· 13.3 = 781.19см⁴,

J⁽³⁾_YC = 31.2 + (-4.68)²· 13.3 = 322.13см⁴,

J⁽³⁾_XCYC = 0 + 5.99 · (-4.68) · 13.3 = -372.59см⁴.

Моменты инерции всего сечения относительно центральной системы координат X_CY_C будут равны:

J_XC = 2808.06 + 545.06 + 781.19 = 4134.3 см⁴,

J_YC = 208.02 + 237.25 + 322.13 = 767.39 см⁴,

J_XCYC = -300.08 - 3.63 - 372.59 = -676.3см⁴.

4. Определение угла поворота главной центральной системы координат UV.

Тангенс угла поворота системы координат UV относительно системы координат X_CY_C определится по следующей формуле

tg(2α) = -2J_XCYC / (J_XC - J_YC) = -2·(-676.3) / (4134.3 - 767.39) = 0.4017.

Откуда угол поворота будет равен

α = 10.94°.

Так как угол положителен, поворот системы координат UV выполняется против часовой стрелки.

5. Определение главных центральных моментов сечения

J_max,min = (J_XC + J_YC) / 2± ½·[(J_XC - J_YC)² + 4·J_XCYC²]^½ = (4134.3 + 767.39) / 2 ± ½·[(4134.3 - 767.39)² + 4·(-676.3)²]^½ = 2450.85 ± 1814.22.

Следовательно,

J_min = J_V = 636.62см⁴; J_max = J_U = 4265.07см⁴.

6. Определение главных центральных моментов сопротивления сечения

Из определения моментов сопротивления сечения

W_U = J_U / |V_max|; W_V = J_V / |U_max|.

Из эскиза сечения найдем

|U_max| = 10.02см; |V_max| = 17.02см.

Главные центральные моменты сопротивления сечения будут равны

W_U = 4265.07 / 17.02 = 250.56см³; W_V = 636.62 / 10.02 = 63.54см³.

7. Определение главных радиусов инерции

i_V = i_min = (J_V / A)^½ = (636.62 / 54.16)^½ = 3.43см; i_U = i_max = (J_U / A)^½ = (4265.07 / 54.16)^½ = 8.87см.

Задача решена.

PDF эскиз сечения в масштабе (A3) - скачать | открыть

DXF эскиз сечения в масштабе - скачать