Примеры. Расчёт статически неопределимых плоских рам и балок методом сил
Примеры
Ниже приведены примеры расчётов в том виде, в котором их рассчитывает и предоставляет данный сервис. Для просмотра интересующего примера кликните на соответствующую иллюстрацию расчётной модели.
Разноцветные пометки обозначают выполнение в расчётах следующих дополнений:
n = 1 [•]
ОТЧЁТ
Исходные данные
|
|
Расчёт
1. Определение степени статической неопределимости
Степень статической неопределимости равна
n = 1.
2. Выбор основной системы.
Для решения задачи выбрана основная система представленная на рис. 1
| Рис. 2. Заданная система. |
3. Составление системы канонических уравнений.
δ11·X1 + ΔP1 = 0. | (1) |
где δij = δji = ∑∫MiMj/(EJ)dz - коэффициенты податливости,
ΔPi = ∑∫MPMi/(EJ)dz - грузовые перемещения,
MP, Mi - эпюры изгибающих моментов грузовой и единичных систем соответственно,
Xi - усилия подлежащие определению.
4. Построение эпюр изгибающих моментов для единичных систем.
4.1. Единичная система №1.
4.1.1. Определение реакций опор для схемы на рис.3
Составим уравнения статического равновесия.
∑Fy = YA - YB = 0; ∑MA = 1 - YB·1.5м = 0. | (2) |
Решение уравнений статики (2) даёт следующие значения реакций:
YA = 0.66667;
YB = 0.66667.
| Рис. 3. Схема реакций. | Рис. 4. Эпюра Mx. |
4.1.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.3
Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 1.5м)
Mx = -YB·z1;
при z1 = 0; Mx = 0.
при z1 = 1.5м; Mx = -1.
Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 2м)
Mx = -YB·1.5м = -1.
5. Построение эпюр изгибающих моментов для грузовой системы.
5.1. Определение реакций опор для схемы на рис.5
Составим уравнения статического равновесия.
∑Fx = -q·3м + F + XA = 0; ∑Fy = YA - YB = 0; ∑MA = q·3м·0.5м + F·1м - YB·1.5м = 0. | (3) |
Решение уравнений статики (3) даёт следующие значения реакций:
XA = 11кН;
YA = 10.667кН;
YB = 10.667кН.
| Рис. 5. Схема реакций. | Рис. 6. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент). |
5.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.5
Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 2м)
Mx = -XA·z1;
при z1 = 0; Mx = 0.
при z1 = 2м; Mx = -22кН·м.
Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 1.5м)
Mx = -XA·2м + YA·z2;
при z2 = 0; Mx = -22кН·м.
при z2 = 1.5м; Mx = -6кН·м.
Участок №3 (0 ≤ z3 ≤ 3м)
Mx = -q·z32/2 - XA·(2м - z3) + YA·1.5м;
при z3 = 0; Mx = -6кН·м.
при z3 = 1.8333м; Mx = 4.0833кН·м.
при z3 = 3м; Mx = 0.
6. Определение коэффициентов системы канонических уравнений.
δ11 = [1/EJ]·({[1.5·(-1)/2]·(-0.66667)}1,1 + {[2·(-1)]·(-1)}2,2) = (1/EJ)·(0.5 + 2) = 2.5/EJ.
ΔP1 = [1/EJ]·({[2·(-2.2·104)/2]·(-1)}1,2 + {[1.5·(-2.2·104 - 6·103)/2]·(-0.59524)}2,1) = (1/EJ)·(2.2·104 + 12500) = 34500/EJ.
Пояснения по расчёту коэффициентов находятся по ссылке7. Решение системы канонических уравнений.
Система уравнений (1) с вычисленными коэффициентами запишется в следующем виде:
2.5·X1 = -34500.
Решение системы канонических уравнений (1) даёт следующие значения неизвестных:
X1 = 13.8кН·м.
8. Построение эпюр внутренних силовых факторов для заданной системы.
8.1. Определение реакций опор для схемы на рис.7
Составим уравнения статического равновесия.
∑Fx = -q·3м + F + XA = 0; ∑Fy = YA - YB = 0; ∑MA = q·3м·0.5м + F·1м - X1 - YB·1.5м = 0. | (4) |
Решение уравнений статики (4) даёт следующие значения реакций:
XA = 11кН;
YA = 1.4667кН;
YB = 1.4667кН.
| Рис. 7. Схема реакций. | Рис. 8. Эпюра Nz, кН (осевая сила). |
| Рис. 9. Эпюра Qy, кН (поперечная сила). | Рис. 10. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент). |
8.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.7
Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 2м)
Nz = -YA = -1.4667кН.
Qy = -XA = -11кН.
Mx = -XA·z1 + X1;
при z1 = 0; Mx = 13.8кН·м.
при z1 = 2м; Mx = -8.2кН·м.
Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 1.5м)
Nz = -XA = -11кН.
Qy = YA = 1.4667кН.
Mx = -XA·2м + YA·z2 + X1;
при z2 = 0; Mx = -8.2кН·м.
при z2 = 1.5м; Mx = -6кН·м.
Участок №3 (0 ≤ z3 ≤ 3м)
Nz = YB = 1.4667кН.
Qy = -F + q·z3;
при z3 = 0; Qy = -7кН.
при z3 = 3м; Qy = 11кН.
Mx = F·z3 - q·z32/2;
при z3 = 0; Mx = 0.
при z3 = 1.1667м; Mx = 4.0833кН·м.
при z3 = 3м; Mx = -6кН·м.
9. Деформационная проверка.
9.1. Определение реакций опор для схемы на рис.11
Составим уравнения статического равновесия.
∑Fy = 1 - YA = 0; ∑MA = 1·1.5м - MA = 0. | (5) |
Решение уравнений статики (5) даёт следующие значения реакций:
YA = 1;
MA = 1.5.
| Рис. 11. Схема реакций. | Рис. 12. Эпюра Mx. |
9.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.11
Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 1.5м)
Mx = 1·z1;
при z1 = 0; Mx = 0.
при z1 = 1.5м; Mx = 1.5.
Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 2м)
Mx = 1·1.5м = 1.5.
9.3. Проверка
Выполним перемножение эпюр изгибающих моментов для заданной системы (рис. 10) и единичной системы деформационной проверки (рис. 12):
Δ = [1/EJ]·({[2·(13800 - 8200)/2]·1.5}1,2 + {[1.5·(-8200 - 6·103)/2]·0.78873}2,1) = (1/EJ)·(8400 - 8400) = 0.
Результат равен нолю, значит задача по раскрытию статической неопределимости решена верно.
10. Подбор сечения исходя из условия прочности по допустимому напряжению
Подбор выполняется в наиболее нагруженном месте, т.е. в опасном сечении. Опасное сечение располагается в точке, где внутренние силовые факторы дают максимальное напряжение. Для анализа возьмём точку, в которой значение изгибающего момента - Mx = 13.8кН·м, значение осевой силы - Nz = 1.4667кН. Геометрические характеристики сечения определятся исходя из выполнения условия прочности по допустимому напряжению:
σxmax = n·(|Mx|/Wx + |Nz|/A) ≤ [σ],
где, Wx - момент сопротивления сечения, A - площадь поперечного сечения, n = 1.5 - коэффициент запаса, [σ] = 160МПа - допустимое напряжение.
Характеристики сечения определятся методом подбора. Согласно формуле определения максимального напряжения величина напряжения состоит из двух частей: напряжения от изгибающего момента и напряжения от осевой силы. При доминировании напряжения от изгибающего момента подбор следует начинать с момента сопротивления, при доминировании напряжения от осевой силы подбор следует начинать с площади сечения. Подбор выполнять по следующим формулам:
Wx = n·|Mx|/[σ]; A = n·|Nz|/[σ].
Получившиеся значения геометрических характеристик сечения округляем до ближайшего большего справочного значения и получаем следующий прокат:
Двутавр №18; A = 23.4см2; Jx = 1290см4; Wx = 143см3.
С учётом результата подбора напряжение в опасном сечении равно:
σxmax = 1.5·(13.8·103Н·м/143·10-6м3 + 1.4667·103Н/23.4·10-4м2) = 1.5·(96.503МПа + 0.62678МПа) = 145.7МПа ≤ [σ].
Условие обеспечения прочности по допустимому напряжению выполнено.
n = 1 [•••]
Примечание. Эпюры изгибающего момента построена на растянутом волокне (Диалог "Настройки").
ОТЧЁТ
Исходные данные
|
|
Расчёт
1. Определение степени статической неопределимости
Степень статической неопределимости равна
n = 1.
2. Выбор основной системы.
Для решения задачи выбрана основная система представленная на рис. 1
| Рис. 2. Заданная система. |
3. Составление системы канонических уравнений.
δ11·X1 + ΔP1 = 0. | (1) |
где δij = δji = ∑∫MiMj/(EJ)dz - коэффициенты податливости,
ΔPi = ∑∫MPMi/(EJ)dz - грузовые перемещения,
MP, Mi - эпюры изгибающих моментов грузовой и единичных систем соответственно,
Xi - усилия подлежащие определению.
4. Построение эпюр изгибающих моментов для единичных систем.
4.1. Единичная система №1.
4.1.1. Определение реакций опор для схемы на рис.3
Составим уравнения статического равновесия.
∑Fx = XB - XC = 0; ∑Fy = 1 + YA - YC = 0; ∑MC = -1·2м - YA·1м + XB·1м = 0; ∑MD = -YA·1м = 0. | (2) |
Решение уравнений статики (2) даёт следующие значения реакций:
YA = 0;
XB = 2;
XC = 2;
YC = 1.
| Рис. 3. Схема реакций. | Рис. 4. Эпюра Mx. |
4.1.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.3
Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 2м)
Mx = 1·z1;
при z1 = 0; Mx = 0.
при z1 = 2м; Mx = 2.
Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 1м)
Mx = -XB·z2 + 1·2м;
при z2 = 0; Mx = 2.
при z2 = 1м; Mx = 0.
5. Построение эпюр изгибающих моментов для грузовой системы.
5.1. Определение реакций опор для схемы на рис.5
Составим уравнения статического равновесия.
∑Fx = F2 - q·1.5м - XB + XC = 0; ∑Fy = -F1 + YA + YC = 0; ∑MC = F1·1м + F2·2.5м + M - q·1.5м·1.75м - YA·1м - XB·1м = 0; ∑MD = -YA·1м - q·1.5м·0.75м + F2·1.5м = 0. | (3) |
Решение уравнений статики (3) даёт следующие значения реакций:
YA = 1.875кН;
XB = 3.5кН;
XC = 6кН;
YC = 1.125кН.
| Рис. 5. Схема реакций. | Рис. 6. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент). |
5.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.5
Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 1м)
Mx = -F1·z1;
при z1 = 0; Mx = 0.
при z1 = 1м; Mx = -3кН·м.
Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 1м)
Mx = -YA·z2;
при z2 = 0; Mx = 0.
при z2 = 1м; Mx = -1.875кН·м.
Участок №3 (0 ≤ z3 ≤ 1.5м)
Mx = -q·z32/2 - YA·1м + F2·z3;
при z3 = 0; Mx = -1.875кН·м.
при z3 = 1м; Mx = 0.625кН·м.
при z3 = 1.5м; Mx = 0.
Участок №4 (0 ≤ z4 ≤ 1м)
Mx = -XC·z4 + M;
при z4 = 0; Mx = 3кН·м.
при z4 = 1м; Mx = -3кН·м.
6. Определение коэффициентов системы канонических уравнений.
δ11 = ({[1/EJ]·[2·2/2]·1.3333}1,1 + {[1/(3·EJ)]·[1·2/2]·1.3333}2,2) = (1/EJ)·(2.6667 + 0.44444) = 3.1111/EJ.
ΔP1 = ({[1/EJ]·[1·(-3·103)/2]·1.6667}1,1 + {[1/(3·EJ)]·(-1·103)}4,2) = (1/EJ)·(-2500 - 333.33) = -2833.3/EJ.
Пояснения по расчёту коэффициентов находятся по ссылке7. Решение системы канонических уравнений.
Система уравнений (1) с вычисленными коэффициентами запишется в следующем виде:
3.1111·X1 = 2833.3.
Решение системы канонических уравнений (1) даёт следующие значения неизвестных:
X1 = 0.91071кН.
8. Построение эпюр внутренних силовых факторов для заданной системы.
8.1. Определение реакций опор для схемы на рис.7
Составим уравнения статического равновесия.
∑Fx = F2 - q·1.5м - XB + XC = 0; ∑Fy = -F1 + X1 + YA + YC = 0; ∑MC = F1·1м + F2·2.5м + M - q·1.5м·1.75м - X1·2м - YA·1м - XB·1м = 0; ∑MD = -YA·1м - q·1.5м·0.75м + F2·1.5м = 0. | (4) |
Решение уравнений статики (4) даёт следующие значения реакций:
YA = 1.875кН;
XB = 1.6786кН;
XC = 4.1786кН;
YC = 0.21429кН.
| Рис. 7. Схема реакций. | Рис. 8. Эпюра Nz, кН (осевая сила). |
| Рис. 9. Эпюра Qy, кН (поперечная сила). | Рис. 10. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент). |
8.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.7
Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 1м)
Nz = XB = 1.6786кН.
Qy = X1 = 0.91071кН.
Mx = X1·z1;
при z1 = 0; Mx = 0.
при z1 = 1м; Mx = 0.91071кН·м.
Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 1м)
Nz = XB = 1.6786кН.
Qy = -F1 + X1 = -2.0893кН.
Mx = -F1·z2 + X1·(z2 + 1м);
при z2 = 0; Mx = 0.91071кН·м.
при z2 = 1м; Mx = -1.1786кН·м.
Участок №3 (0 ≤ z3 ≤ 1м)
Nz = -F2 = -5кН.
Qy = YA = 1.875кН.
Mx = -YA·z3;
при z3 = 0; Mx = 0.
при z3 = 1м; Mx = -1.875кН·м.
Участок №4 (0 ≤ z4 ≤ 1.5м)
Nz = -YA = -1.875кН.
Qy = q·z4 - F2;
при z4 = 0; Qy = -5кН.
при z4 = 1.5м; Qy = 2.5кН.
Mx = -q·z42/2 - YA·1м + F2·z4;
при z4 = 0; Mx = -1.875кН·м.
при z4 = 1м; Mx = 0.625кН·м.
при z4 = 1.5м; Mx = 0.
Участок №5 (0 ≤ z5 ≤ 1м)
Nz = YC = 0.21429кН.
Qy = XC = 4.1786кН.
Mx = -XC·z5 + M;
при z5 = 0; Mx = 3кН·м.
при z5 = 1м; Mx = -1.1786кН·м.
9. Деформационная проверка.
9.1. Определение реакций опор для схемы на рис.11
Составим уравнения статического равновесия.
∑Fx = 1 - XB = 0; ∑Fy = YA - YB + YC = 0; ∑MB = -1·1м + YA·1м + YC·2м = 0; ∑MD = -YA·1м = 0. | (5) |
Решение уравнений статики (5) даёт следующие значения реакций:
YA = 0;
XB = 1;
YB = 0.5;
YC = 0.5.
| Рис. 11. Схема реакций. | Рис. 12. Эпюра Mx. |
9.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.11
Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 2м)
Mx = -YB·z1;
при z1 = 0; Mx = 0.
при z1 = 2м; Mx = -1.
Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 1м)
Mx = XB·z2 - YB·2м;
при z2 = 0; Mx = -1.
при z2 = 1м; Mx = 0.
9.3. Проверка
Выполним перемножение эпюр изгибающих моментов для заданной системы (рис. 10) и единичной системы деформационной проверки (рис. 12):
Δ = ({[1/EJ]·[1·910.71/2]·(-0.33333)}1,1 + {[1/EJ]·[1·(910.71 - 1178.6)/2]·(-1.4)}2,1 + {[1/(3·EJ)]·[1·(-1178.6 + 3·103)/2]·(-0.11765)}5,2) = (1/EJ)·(-151.79 + 187.5 - 35.714) = 0.
Результат равен нолю, значит задача по раскрытию статической неопределимости решена верно.
Теперь для определения перемещения в заданной точке построим соответствующую единичную систему, рассчитаем для неё реакции опор и эпюры изгибающего момента. Перемножение эпюр изгибающих моментов заданной системы и единичной даст искомое перемещение.
10. Определение перемещения точки K
10.1. Определение реакций опор для схемы на рис. 13
Составим уравнения статического равновесия.
∑Fx = XB - XC = 0; ∑Fy = 1 + YA - YC = 0; ∑MC = -1·1м - YA·1м + XB·1м = 0; ∑MD = -YA·1м = 0. | (6) |
Решение уравнений статики (6) даёт следующие значения реакций:
YA = 0;
XB = 1;
XC = 1;
YC = 1.
| Рис. 13. Схема реакций. | Рис. 14. Эпюра Mx. |
10.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис. 13
Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 1м)
Mx = 1·z1;
при z1 = 0; Mx = 0.
при z1 = 1м; Mx = 1.
Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 1м)
Mx = 1·1м - XB·z2;
при z2 = 0; Mx = 1.
при z2 = 1м; Mx = 0.
10.3. Расчёт перемещения
Перемещение определится как результат перемножения эпюр изгибающих моментов для заданной системы (рис. 10) и единичной системы построенной для расчёта перемещения (рис. 14):
ΔK = ({[1/EJ]·[1·(910.71 - 1178.6)/2]·1.8}2,1 + {[1/(3·EJ)]·[1·(-1178.6 + 3·103)/2]·0.11765}5,2) = (1/EJ)·(-241.07 + 35.714) = -205.4/EJ.
Пояснения по расчёту перемещения находятся по ссылкеn = 2 [••]
ОТЧЁТ
Исходные данные
|
|
Расчёт
1. Определение степени статической неопределимости
Степень статической неопределимости равна
n = 2.
2. Выбор основной системы.
Для решения задачи выбрана основная система представленная на рис. 1
| Рис. 2. Заданная система. |
3. Составление системы канонических уравнений.
δ11·X1 + δ12·X2 + ΔP1 = 0; δ21·X1 + δ22·X2 + ΔP2 = 0. | (1) |
где δij = δji = ∑∫MiMj/(EJ)dz - коэффициенты податливости,
ΔPi = ∑∫MPMi/(EJ)dz - грузовые перемещения,
MP, Mi - эпюры изгибающих моментов грузовой и единичных систем соответственно,
Xi - усилия подлежащие определению.
4. Построение эпюр изгибающих моментов для единичных систем.
4.1. Единичная система №1.
4.1.1. Определение реакций опор для схемы на рис.3
Составим уравнения статического равновесия.
∑Fx = -XA + XB = 0; ∑Fy = 1 - YB = 0; ∑MB = -1·1м + XA·1.5м = 0. | (2) |
Решение уравнений статики (2) даёт следующие значения реакций:
XA = 0.66667;
XB = 0.66667;
YB = 1.
| Рис. 3. Схема реакций. | Рис. 4. Эпюра Mx. |
4.1.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.3
Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 3м)
Mx = 1·z1;
при z1 = 0; Mx = 0.
при z1 = 3м; Mx = 3.
Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 1.5м)
Mx = -XA·z2 + 1·3м;
при z2 = 0; Mx = 3.
при z2 = 1.5м; Mx = 2.
Участок №3 (0 ≤ z3 ≤ 2м)
Mx = -XA·1.5м + 1·(3м - z3);
при z3 = 0; Mx = 2.
при z3 = 2м; Mx = 0.
4.2. Единичная система №2.
4.2.1. Определение реакций опор для схемы на рис.5
Составим уравнения статического равновесия.
∑Fx = XA - XB = 0; ∑MB = 1 - XA·1.5м = 0. | (3) |
Решение уравнений статики (3) даёт следующие значения реакций:
XA = 0.66667;
XB = 0.66667.
| Рис. 5. Схема реакций. | Рис. 6. Эпюра Mx. |
4.2.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.5
Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 1.5м)
Mx = -XB·z1;
при z1 = 0; Mx = 0.
при z1 = 1.5м; Mx = -1.
Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 3м)
Mx = -XB·1.5м = -1.
5. Построение эпюр изгибающих моментов для грузовой системы.
5.1. Определение реакций опор для схемы на рис.7
Составим уравнения статического равновесия.
∑Fx = -XA + XB = 0; ∑Fy = F - q·2м + YB = 0; ∑MB = -q·2м·1м + M + XA·1.5м = 0. | (4) |
Решение уравнений статики (4) даёт следующие значения реакций:
XA = 4.6667кН;
XB = 4.6667кН;
YB = 3кН.
| Рис. 7. Схема реакций. | Рис. 8. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент). |
5.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.7
Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 2м)
Mx = F·z1 - q·z12/2;
при z1 = 0; Mx = 0.
при z1 = 1.4м; Mx = 4.9кН·м.
при z1 = 2м; Mx = 4кН·м.
Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 1.5м)
Mx = F·2м - q·2м·1м - XA·z2;
при z2 = 0; Mx = 4кН·м.
при z2 = 1.5м; Mx = -3кН·м.
Участок №3 (0 ≤ z3 ≤ 2м)
Mx = F·(2м - z3) - q·2м·(1м - z3) - XA·1.5м;
при z3 = 0; Mx = -3кН·м.
при z3 = 2м; Mx = 3кН·м.
6. Определение коэффициентов системы канонических уравнений.
δ11 = ({[1/(1.5·EJ)]·[3·3/2]·2}1,1 + {[1/EJ]·[1.5·(3 + 2)/2]·2.5333}2,2 + {[1/EJ]·[2·2/2]·1.3333}3,3) = (1/EJ)·(6 + 9.5 + 2.6667) = 18.167/EJ.
δ12 = δ21 = ({[1/(1.5·EJ)]·[3·3/2]·(-1)}1,2 + {[1/EJ]·[1.5·(3 + 2)/2]·(-0.53333)}2,1) = (1/EJ)·(-3 - 2) = -5/EJ.
δ22 = ({[1/EJ]·[1.5·(-1)/2]·(-0.66667)}1,1 + {[1/(1.5·EJ)]·[3·(-1)]·(-1)}2,2) = (1/EJ)·(0.5 + 2) = 2.5/EJ.
ΔP1 = ({[1/(1.5·EJ)]·[7333.3]·2.1818}1,1 + {[1/EJ]·[1.5·(4·103 - 3·103)/2]·3.6667}2,2 + {[1/EJ]·(-2·103)}3,3) = (1/EJ)·(10667 + 2750 - 2·103) = 11417/EJ.
ΔP2 = ({[1/(1.5·EJ)]·[7333.3]·(-1)}1,2 + {[1/EJ]·[1.5·(4·103 - 3·103)/2]·(-1.6667)}2,1) = (1/EJ)·(-4888.9 - 1250) = -6138.9/EJ.
Пояснения по расчёту коэффициентов находятся по ссылке7. Решение системы канонических уравнений.
Система уравнений (1) с вычисленными коэффициентами запишется в следующем виде:
18.167·X1 - 5·X2 = -11417;
-5·X1 + 2.5·X2 = 6138.9.
Решение системы канонических уравнений (1) даёт следующие значения неизвестных:
X1 = 0.10544кН;
X2 = 2.6664кН·м.
8. Построение эпюр внутренних силовых факторов для заданной системы.
8.1. Определение реакций опор для схемы на рис.9
Составим уравнения статического равновесия.
∑Fx = -XA + XB = 0; ∑Fy = F1 - q·2м + X1 + YB = 0; ∑MB = -q·2м·1м + M1 - X1·1м + X2 + XA·1.5м = 0. | (5) |
Решение уравнений статики (5) даёт следующие значения реакций:
XA = 2.9593кН;
XB = 2.9593кН;
YB = 2.8946кН.
| Рис. 9. Схема реакций. | Рис. 10. Эпюра Nz, кН (осевая сила). |
| Рис. 11. Эпюра Qy, кН (поперечная сила). | Рис. 12. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент). |
8.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.9
Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 1м)
Nz = XA = 2.9593кН.
Qy = X1 = 0.10544кН.
Mx = X1·z1 - X2;
при z1 = 0; Mx = -2.6664кН·м.
при z1 = 1м; Mx = -2.561кН·м.
Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 2м)
Nz = -XB = -2.9593кН.
Qy = YB = 2.8946кН.
Mx = -YB·z2 + M1;
при z2 = 0; Mx = 3кН·м.
при z2 = 2м; Mx = -2.7891кН·м.
Участок №3 (0 ≤ z3 ≤ 1.5м)
Nz = -YB = -2.8946кН.
Qy = -XB = -2.9593кН.
Mx = XB·z3 - YB·2м + M1;
при z3 = 0; Mx = -2.7891кН·м.
при z3 = 1.5м; Mx = 1.6499кН·м.
Участок №4 (0 ≤ z4 ≤ 2м)
Nz = XB = 2.9593кН.
Qy = q·z4 - YB;
при z4 = 0; Qy = -2.8946кН.
при z4 = 2м; Qy = 7.1054кН.
Mx = -q·z42/2 + XB·1.5м - YB·(2м - z4) + M1;
при z4 = 0; Mx = 1.6499кН·м.
при z4 = 0.57891м; Mx = 2.4877кН·м.
при z4 = 2м; Mx = -2.561кН·м.
9. Деформационная проверка.
9.1. Определение реакций опор для схемы на рис.13
Составим уравнения статического равновесия.
∑Fx = 1 - XA = 0; ∑Fy = 1 - YA = 0; ∑MA = 1·1.5м + 1·1м - MA = 0. | (6) |
Решение уравнений статики (6) даёт следующие значения реакций:
XA = 1;
YA = 1;
MA = 2.5.
| Рис. 13. Схема реакций. | Рис. 14. Эпюра Mx. |
9.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.13
Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 2м)
Mx = -1·z1;
при z1 = 0; Mx = 0.
при z1 = 2м; Mx = -2.
Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 1.5м)
Mx = 1·z2 - 1·2м;
при z2 = 0; Mx = -2.
при z2 = 1.5м; Mx = -0.5.
Участок №3 (0 ≤ z3 ≤ 3м)
Mx = 1·1.5м - 1·(2м - z3);
при z3 = 0; Mx = -0.5.
при z3 = 3м; Mx = 2.5.
9.3. Проверка
Выполним перемножение эпюр изгибающих моментов для заданной системы (рис. 12) и единичной системы деформационной проверки (рис. 14):
Δ = ({[1/(1.5·EJ)]·[1·(-2666.4 - 2561)/2]·2.0034}1,3 + {[1/EJ]·[2·(-2789.1 + 3·103)/2]·8.1505}2,1 + {[1/EJ]·[1.5·(1649.9 - 2789.1)/2]·(-2.2241)}3,2 + {[1/(1.5·EJ)]·[2422.2]·(-0.079479)}4,3) = (1/EJ)·(-3490.8 + 1718.8 + 1900.3 - 128.34) = 0.
Результат равен нолю, значит задача по раскрытию статической неопределимости решена верно.
Теперь для определения перемещения в заданной точке построим соответствующую единичную систему, рассчитаем для неё реакции опор и эпюры изгибающего момента. Перемножение эпюр изгибающих моментов заданной системы и единичной даст искомое перемещение.
10. Определение перемещения точки K
10.1. Определение реакций опор для схемы на рис. 15
Составим уравнения статического равновесия.
∑Fx = XA - XB = 0; ∑MB = 1 - XA·1.5м = 0. | (7) |
Решение уравнений статики (7) даёт следующие значения реакций:
XA = 0.66667;
XB = 0.66667.
| Рис. 15. Схема реакций. | Рис. 16. Эпюра Mx. |
10.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис. 15
Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 1.5м)
Mx = XA·z1;
при z1 = 0; Mx = 0.
при z1 = 1.5м; Mx = 1.
10.3. Расчёт перемещения
Перемещение определится как результат перемножения эпюр изгибающих моментов для заданной системы (рис. 12) и единичной системы построенной для расчёта перемещения (рис. 16):
θK = ({[1/EJ]·[1.5·(1649.9 - 2789.1)/2]·1.1494}3,1) = (1/EJ)·(-982.09) = -982.1/EJ.
Пояснения по расчёту перемещения находятся по ссылкеn = 2 [••]
Примечание. Эпюры изгибающего момента построена на растянутом волокне (Диалог "Настройки").
ОТЧЁТ
Исходные данные
| F1 = 9кН; |
| F2 = 7кН; |
| q1 = 7кН/м; |
| q2 = 3кН/м. |
| Рис. 1. Заданная схема. |
Расчёт
1. Определение степени статической неопределимости
Степень статической неопределимости равна
n = 2.
2. Выбор основной системы.
Для решения задачи выбрана основная система представленная на рис. 1
| Рис. 2. Заданная система. |
3. Составление системы канонических уравнений.
δ11·X1 + δ12·X2 + ΔP1 = 0; δ21·X1 + δ22·X2 + ΔP2 = 0. | (1) |
где δij = δji = ∑∫MiMj/(EJ)dz - коэффициенты податливости,
ΔPi = ∑∫MPMi/(EJ)dz - грузовые перемещения,
MP, Mi - эпюры изгибающих моментов грузовой и единичных систем соответственно,
Xi - усилия подлежащие определению.
4. Построение эпюр изгибающих моментов для единичных систем.
4.1. Единичная система №1.
4.1.1. Определение реакций опор для схемы на рис.3
Составим уравнения статического равновесия.
∑Fx = 1 - XA = 0; ∑Fy = -YA + YB + YC = 0; ∑MA = MA - YB·1.5м + YC·2м = 0; ∑MD = -YB·1.5м + 1·2м = 0; ∑ME = YC·1м = 0. | (2) |
Решение уравнений статики (2) даёт следующие значения реакций:
XA = 1;
YA = 1.3333;
MA = 2;
YB = 1.3333;
YC = 0.
| Рис. 3. Схема реакций. |
| Рис. 4. Эпюра Mx. |
4.1.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.3
Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 2м)
Mx = -1·z1;
при z1 = 0; Mx = 0.
при z1 = 2м; Mx = -2.
Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 1.5м)
Mx = YB·z2 - 1·2м;
при z2 = 0; Mx = -2.
при z2 = 1.5м; Mx = 0.
Участок №3 (0 ≤ z3 ≤ 2м)
Mx = YB·1.5м - 1·(2м - z3);
при z3 = 0; Mx = 0.
при z3 = 2м; Mx = 2.
4.2. Единичная система №2.
4.2.1. Определение реакций опор для схемы на рис.5
Составим уравнения статического равновесия.
∑Fx = 1 - XA = 0; ∑Fy = YA + YB - YC = 0; ∑MA = 1·0.5м + MA - YB·1.5м - YC·2м = 0; ∑MD = -YB·1.5м = 0; ∑ME = -YC·1м + 1·4.5м = 0. | (3) |
Решение уравнений статики (3) даёт следующие значения реакций:
XA = 1;
YA = 4.5;
MA = 8.5;
YB = 0;
YC = 4.5.
| Рис. 5. Схема реакций. |
| Рис. 6. Эпюра Mx. |
4.2.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.5
Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 4.5м)
Mx = 1·z1;
при z1 = 0; Mx = 0.
при z1 = 4.5м; Mx = 4.5.
Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 1м)
Mx = -YC·z2 + 1·4.5м;
при z2 = 0; Mx = 4.5.
при z2 = 1м; Mx = 0.
Участок №3 (0 ≤ z3 ≤ 1м)
Mx = -YC·(z3 + 1м) + 1·4.5м;
при z3 = 0; Mx = 0.
при z3 = 1м; Mx = -4.5.
Участок №4 (0 ≤ z4 ≤ 2м)
Mx = -YC·2м + 1·(4.5м - z4);
при z4 = 0; Mx = -4.5.
при z4 = 2м; Mx = -6.5.
Участок №5 (0 ≤ z5 ≤ 2м)
Mx = -YC·2м + 1·(2.5м - z5);
при z5 = 0; Mx = -6.5.
при z5 = 2м; Mx = -8.5.
5. Построение эпюр изгибающих моментов для грузовой системы.
5.1. Определение реакций опор для схемы на рис.7
Составим уравнения статического равновесия.
∑Fx = F2 + q1·2м - q2·4.5м - XA = 0; ∑Fy = -F1 - YA + YB + YC = 0; ∑MA = F1·0.75м - F2·4м - q1·2м·1м + q2·4.5м·1.75м - MA - YB·1.5м + YC·2м = 0; ∑MD = -YB·1.5м + F1·0.75м + q1·2м·1м = 0; ∑ME = YC·1м - q2·4.5м·2.25м = 0. | (4) |
Решение уравнений статики (4) даёт следующие значения реакций:
XA = 7.5кН;
YA = 35.208кН;
MA = 28.375кН·м;
YB = 13.833кН;
YC = 30.375кН.
| Рис. 7. Схема реакций. |
| Рис. 8. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент). |
5.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.7
Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 2м)
Mx = -q1·z12/2;
при z1 = 0; Mx = 0.
при z1 = 2м; Mx = -14кН·м.
Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 0.75м)
Mx = YB·z2 - q1·2м·1м;
при z2 = 0; Mx = -14кН·м.
при z2 = 0.75м; Mx = -3.625кН·м.
Участок №3 (0 ≤ z3 ≤ 0.75м)
Mx = -F1·z3 + YB·(z3 + 0.75м) - q1·2м·1м;
при z3 = 0; Mx = -3.625кН·м.
при z3 = 0.75м; Mx = 0.
Участок №4 (0 ≤ z4 ≤ 4.5м)
Mx = -q2·z42/2;
при z4 = 0; Mx = 0.
при z4 = 4.5м; Mx = -30.375кН·м.
Участок №5 (0 ≤ z5 ≤ 1м)
Mx = YC·z5 - q2·4.5м·2.25м;
при z5 = 0; Mx = -30.375кН·м.
при z5 = 1м; Mx = 0.
Участок №6 (0 ≤ z6 ≤ 1м)
Mx = YC·(z6 + 1м) - q2·4.5м·2.25м;
при z6 = 0; Mx = 0.
при z6 = 1м; Mx = 30.375кН·м.
Участок №7 (0 ≤ z7 ≤ 2м)
Mx = -F2·z7 + YC·2м - q2·4.5м·(2.25м - z7);
при z7 = 0; Mx = 30.375кН·м.
при z7 = 2м; Mx = 43.375кН·м.
Участок №8 (0 ≤ z8 ≤ 2м)
Mx = -XA·z8 - MA;
при z8 = 0; Mx = -28.375кН·м.
при z8 = 2м; Mx = -43.375кН·м.
6. Определение коэффициентов системы канонических уравнений.
δ11 = ({[1/(1.5·EJ)]·[2·(-2)/2]·(-1.3333)}1,1 + {[1/EJ]·[1.5·(-2)/2]·(-1.3333)}2,2 + {[1/EJ]·[2·2/2]·1.3333}3,3) = (1/EJ)·(1.7778 + 2 + 2.6667) = 6.4444/EJ.
δ12 = δ21 = ({[1/EJ]·[2·2/2]·7.8333}3,5) = (1/EJ)·(15.667) = 15.667/EJ.
δ22 = ({[1/(1.5·EJ)]·[4.5·4.5/2]·3}1,1 + {[1/EJ]·[1·4.5/2]·3}2,2 + {[1/EJ]·[1·(-4.5)/2]·(-3)}3,3 + {[1/EJ]·[2·(-6.5 - 4.5)/2]·(-5.5606)}4,4 + {[1/EJ]·[2·(-8.5 - 6.5)/2]·(-7.5444)}5,5) = (1/EJ)·(20.25 + 6.75 + 6.75 + 61.167 + 113.17) = 208.08/EJ.
ΔP1 = ({[1/(1.5·EJ)]·[-9333.3]·(-1.5)}1,1 + {[1/EJ]·[0.75·(-1.4·104 - 3625)/2]·(-1.5981)}2,2 + {[1/EJ]·[0.75·(-3625)/2]·(-0.66667)}3,2 + {[1/EJ]·[2·(-43375 - 28375)/2]·0.93031}8,3) = (1/EJ)·(9333.3 + 10562 + 906.25 - 66750) = -45948/EJ.
ΔP2 = ({[1/(1.5·EJ)]·[-45562]·3.375}4,1 + {[1/EJ]·[1·(-30375)/2]·3}5,2 + {[1/EJ]·[1·30375/2]·(-3)}6,3 + {[1/EJ]·[2·(43375 + 30375)/2]·(-5.5588)}7,4 + {[1/EJ]·[2·(-43375 - 28375)/2]·7.4303}8,5) = (1/EJ)·(-102516 - 45562 - 45562 - 409958 - 533125) = -1136724/EJ.
Пояснения по расчёту коэффициентов находятся по ссылке7. Решение системы канонических уравнений.
Система уравнений (1) с вычисленными коэффициентами запишется в следующем виде:
6.4444·X1 + 15.667·X2 = 45948;
15.667·X1 + 208.08·X2 = 1136724.
Решение системы канонических уравнений (1) даёт следующие значения неизвестных:
X1 = 7.5284кН;
X2 = 6.0296кН.
8. Построение эпюр внутренних силовых факторов для заданной системы.
8.1. Определение реакций опор для схемы на рис.9
Составим уравнения статического равновесия.
∑Fx = F2 + q1·2м - q2·4.5м - X1 + X2 - XA = 0; ∑Fy = -F1 + YA + YB + YC = 0; ∑MA = F1·0.75м - F2·4м - q1·2м·1м + q2·4.5м·1.75м + X2·0.5м + MA - YB·1.5м + YC·2м = 0; ∑MD = -YB·1.5м + F1·0.75м + q1·2м·1м - X1·2м = 0; ∑ME = YC·1м - q2·4.5м·2.25м + X2·4.5м = 0. | (5) |
Решение уравнений статики (5) даёт следующие значения реакций:
XA = 6.0012кН;
YA = 1.963кН;
MA = 7.8201кН·м;
YB = 3.7954кН;
YC = 3.2416кН.
| Рис. 9. Схема реакций. |
| Рис. 10. Эпюра Nz, кН (осевая сила). |
| Рис. 11. Эпюра Qy, кН (поперечная сила). |
| Рис. 12. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент). |
8.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.9
Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 2м)
Nz = -YB = -3.7954кН.
Qy = X1 - q1·z1;
при z1 = 0; Qy = 7.5284кН.
при z1 = 2м; Qy = -6.4716кН.
Mx = X1·z1 - q1·z12/2;
при z1 = 0; Mx = 0.
при z1 = 1.0755м; Mx = 4.0484кН·м.
при z1 = 2м; Mx = 1.0569кН·м.
Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 0.75м)
Nz = X1 - q1·2м = -6.4716кН.
Qy = YB = 3.7954кН.
Mx = YB·z2 + X1·2м - q1·2м·1м;
при z2 = 0; Mx = 1.0569кН·м.
при z2 = 0.75м; Mx = 3.9034кН·м.
Участок №3 (0 ≤ z3 ≤ 0.75м)
Nz = X1 - q1·2м = -6.4716кН.
Qy = -F1 + YB = -5.2046кН.
Mx = -F1·z3 + YB·(z3 + 0.75м) + X1·2м - q1·2м·1м;
при z3 = 0; Mx = 3.9034кН·м.
при z3 = 0.75м; Mx = 0.
Участок №4 (0 ≤ z4 ≤ 4.5м)
Nz = -YC = -3.2416кН.
Qy = -X2 + q2·z4;
при z4 = 0; Qy = -6.0296кН.
при z4 = 4.5м; Qy = 7.4704кН.
Mx = X2·z4 - q2·z42/2;
при z4 = 0; Mx = 0.
при z4 = 2.0099м; Mx = 6.0594кН·м.
при z4 = 4.5м; Mx = -3.2416кН·м.
Участок №5 (0 ≤ z5 ≤ 1м)
Nz = X2 - q2·4.5м = -7.4704кН.
Qy = -YC = -3.2416кН.
Mx = YC·z5 + X2·4.5м - q2·4.5м·2.25м;
при z5 = 0; Mx = -3.2416кН·м.
при z5 = 1м; Mx = 0.
Участок №6 (0 ≤ z6 ≤ 1м)
Nz = X2 - q2·4.5м = -7.4704кН.
Qy = -YC = -3.2416кН.
Mx = YC·(z6 + 1м) + X2·4.5м - q2·4.5м·2.25м;
при z6 = 0; Mx = 0.
при z6 = 1м; Mx = 3.2416кН·м.
Участок №7 (0 ≤ z7 ≤ 2м)
Nz = YC = 3.2416кН.
Qy = F2 + X2 - q2·4.5м = -0.47035кН.
Mx = -F2·z7 + YC·2м + X2·(4.5м - z7) - q2·4.5м·(2.25м - z7);
при z7 = 0; Mx = 3.2416кН·м.
при z7 = 2м; Mx = 4.1823кН·м.
Участок №8 (0 ≤ z8 ≤ 2м)
Nz = -YA = -1.963кН.
Qy = XA = 6.0012кН.
Mx = -XA·z8 + MA;
при z8 = 0; Mx = 7.8201кН·м.
при z8 = 2м; Mx = -4.1823кН·м.
9. Деформационная проверка.
9.1. Определение реакций опор для схемы на рис.13
Составим уравнения статического равновесия.
∑Fx = 1 - XB + XC = 0; ∑Fy = YA - YB - YC = 0; ∑MB = 1 + YA·1.5м + XC·0.5м - YC·3.5м = 0; ∑MD = -XB·2м + YB·1.5м = 0; ∑ME = XC·4.5м - YC·1м = 0. | (6) |
Решение уравнений статики (6) даёт следующие значения реакций:
YA = 4.0256;
XB = 1.4615;
YB = 1.9487;
XC = 0.46154;
YC = 2.0769.
| Рис. 13. Схема реакций. |
| Рис. 14. Эпюра Mx. |
9.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.13
Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 2м)
Mx = XB·z1;
при z1 = 0; Mx = 0.
при z1 = 2м; Mx = 2.9231.
Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 1.5м)
Mx = XB·2м - YB·z2;
при z2 = 0; Mx = 2.9231.
при z2 = 1.5м; Mx = 0.
Участок №3 (0 ≤ z3 ≤ 4.5м)
Mx = XC·z3;
при z3 = 0; Mx = 0.
при z3 = 4.5м; Mx = 2.0769.
Участок №4 (0 ≤ z4 ≤ 1м)
Mx = XC·4.5м - YC·z4;
при z4 = 0; Mx = 2.0769.
при z4 = 1м; Mx = 0.
Участок №5 (0 ≤ z5 ≤ 1м)
Mx = XC·4.5м - YC·(z5 + 1м);
при z5 = 0; Mx = 0.
при z5 = 1м; Mx = -2.0769.
Участок №6 (0 ≤ z6 ≤ 2м)
Mx = XC·(4.5м - z6) - YC·2м;
при z6 = 0; Mx = -2.0769.
при z6 = 2м; Mx = -3.
Участок №7 (0 ≤ z7 ≤ 2м)
Mx = 1·z7 + 1;
при z7 = 0; Mx = 1.
при z7 = 2м; Mx = 3.
9.3. Проверка
Выполним перемножение эпюр изгибающих моментов для заданной системы (рис. 12) и единичной системы деформационной проверки (рис. 14):
Δ = ({[1/(1.5·EJ)]·[5723.5]·1.5515}1,1 + {[1/EJ]·[0.75·(1056.9 + 3903.4)/2]·2.0525}2,2 + {[1/EJ]·[0.75·3903.4/2]·0.97436}3,2 + {[1/(1.5·EJ)]·[15488]·0.87545}4,3 + {[1/EJ]·[1·(-3241.6)/2]·1.3846}5,4 + {[1/EJ]·[1·3241.6/2]·(-1.3846)}6,5 + {[1/EJ]·[2·(4182.3 + 3241.6)/2]·(-2.558)}7,6 + {[1/EJ]·[2·(-4182.3 + 7820.1)/2]·0.90023}8,7) = (1/EJ)·(5920 + 3817.9 + 1426.3 + 9039.1 - 2244.2 - 2244.2 - 18990 + 3274.9) = 0.
Результат равен нолю, значит задача по раскрытию статической неопределимости решена верно.