Примеры. Расчёт статически неопределимых плоских рам и балок методом сил

Примеры

Ниже приведены примеры расчётов в том виде, в котором их рассчитывает и предоставляет данный сервис. Для просмотра интересующего примера кликните на соответствующую иллюстрацию расчётной модели.

Разноцветные пометки обозначают выполнение в расчётах следующих дополнений:

• - подбор сечения исходя из обеспечения условия прочности;
• - расчёт перемещения;
• - разная жёсткость стержней модели;
• - эпюра моментов на растянутом волокне (для строителей);
• - замкнутый контур (применение операции "Разрыв контура").

n = 1 [•]

ОТЧЁТ

Исходные данные

q = 6кН/м;

F = 7кН;

[σ] = 160МПа;

n = 1.5.

Рис. 1. Заданная схема.

Расчёт

1. Определение степени статической неопределимости

Степень статической неопределимости равна

n = 1.

2. Выбор основной системы.

Для решения задачи выбрана основная система представленная на рис. 2

Рис. 2. Заданная система.

3. Составление системы канонических уравнений.

δ₁₁·X₁ + Δ_P1 = 0.

(1)

где δ_ij = δ_ji = ∑∫M_iM_j/(EJ)dz - коэффициенты податливости,

Δ_Pi = ∑∫M_PM_i/(EJ)dz - грузовые перемещения,

M_P, M_i - эпюры изгибающих моментов грузовой и единичных систем соответственно,

X_i - усилия подлежащие определению.

4. Построение эпюр изгибающих моментов для единичных систем.

4.1. Единичная система №1.

4.1.1. Определение реакций опор для схемы на рис.3

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_y = Y_A - Y_B = 0;

∑M_A = 1 - Y_B·1.5м = 0.

(2)

Решение уравнений статики (2) даёт следующие значения реакций:

Y_A = 0.66667;

Y_B = 0.66667.


Рис. 3. Схема реакций.	Рис. 4. Эпюра Mx.

4.1.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.3

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 1.5м)

M_x = -Y_B·z₁;

при z₁ = 0; M_x = 0.

при z₁ = 1.5м; M_x = -1.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 2м)

M_x = -Y_B·1.5м = -1.

5. Построение эпюр изгибающих моментов для грузовой системы.

5.1. Определение реакций опор для схемы на рис.5

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_x = -q·3м + F + X_A = 0;

∑F_y = Y_A - Y_B = 0;

∑M_A = q·3м·0.5м + F·1м - Y_B·1.5м = 0.

(3)

Решение уравнений статики (3) даёт следующие значения реакций:

X_A = 11кН;

Y_A = 10.667кН;

Y_B = 10.667кН.


Рис. 5. Схема реакций.	Рис. 6. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент).

5.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.5

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 2м)

M_x = -X_A·z₁;

при z₁ = 0; M_x = 0.

при z₁ = 2м; M_x = -22кН·м.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 1.5м)

M_x = -X_A·2м + Y_A·z₂;

при z₂ = 0; M_x = -22кН·м.

при z₂ = 1.5м; M_x = -6кН·м.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 3м)

M_x = -q·z₃²/2 - X_A·(2м - z₃) + Y_A·1.5м;

при z₃ = 0; M_x = -6кН·м.

при z₃ = 1.8333м; M_x = 4.0833кН·м.

при z₃ = 3м; M_x = 0.

6. Определение коэффициентов системы канонических уравнений.

δ₁₁ = [1/EJ]·({[1.5·(-1)/2]·(-0.66667)}_1,1 + {[2·(-1)]·(-1)}_2,2) = (1/EJ)·(0.5 + 2) = 2.5/EJ.

Δ_P1 = [1/EJ]·({[2·(-2.2·10⁴)/2]·(-1)}_1,2 + {[1.5·(-2.2·10⁴ - 6·10³)/2]·(-0.59524)}_2,1) = (1/EJ)·(2.2·10⁴ + 12500) = 34500/EJ.

Пояснения по расчёту коэффициентов находятся по ссылке

7. Решение системы канонических уравнений.

Система уравнений (1) с вычисленными коэффициентами запишется в следующем виде:

2.5·X₁ = -34500.

Решение системы канонических уравнений (1) даёт следующие значения неизвестных:

X₁ = 13.8кН·м.

8. Построение эпюр внутренних силовых факторов для заданной системы.

8.1. Определение реакций опор для схемы на рис.7

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_x = -q·3м + F + X_A = 0;

∑F_y = Y_A - Y_B = 0;

∑M_A = q·3м·0.5м + F·1м - X₁ - Y_B·1.5м = 0.

(4)

Решение уравнений статики (4) даёт следующие значения реакций:

X_A = 11кН;

Y_A = 1.4667кН;

Y_B = 1.4667кН.


Рис. 7. Схема реакций.	Рис. 8. Эпюра Nz, кН (осевая сила).

Рис. 9. Эпюра Qy, кН (поперечная сила).	Рис. 10. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент).

8.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.7

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 2м)

N_z = -Y_A = -1.4667кН.

Q_y = -X_A = -11кН.

M_x = -X_A·z₁ + X₁;

при z₁ = 0; M_x = 13.8кН·м.

при z₁ = 2м; M_x = -8.2кН·м.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 1.5м)

N_z = -X_A = -11кН.

Q_y = Y_A = 1.4667кН.

M_x = -X_A·2м + Y_A·z₂ + X₁;

при z₂ = 0; M_x = -8.2кН·м.

при z₂ = 1.5м; M_x = -6кН·м.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 3м)

N_z = Y_B = 1.4667кН.

Q_y = -F + q·z₃;

при z₃ = 0; Q_y = -7кН.

при z₃ = 3м; Q_y = 11кН.

M_x = F·z₃ - q·z₃²/2;

при z₃ = 0; M_x = 0.

при z₃ = 1.1667м; M_x = 4.0833кН·м.

при z₃ = 3м; M_x = -6кН·м.

9. Деформационная проверка.

9.1. Определение реакций опор для схемы на рис.11

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_y = 1 - Y_A = 0;

∑M_A = 1·1.5м - M_A = 0.

(5)

Решение уравнений статики (5) даёт следующие значения реакций:

Y_A = 1;

M_A = 1.5.


Рис. 11. Схема реакций.	Рис. 12. Эпюра Mx.

9.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.11

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 1.5м)

M_x = 1·z₁;

при z₁ = 0; M_x = 0.

при z₁ = 1.5м; M_x = 1.5.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 2м)

M_x = 1·1.5м = 1.5.

9.3. Проверка

Выполним перемножение эпюр изгибающих моментов для заданной системы (рис. 10) и единичной системы деформационной проверки (рис. 12):

Δ = [1/EJ]·({[2·(13800 - 8200)/2]·1.5}_1,2 + {[1.5·(-8200 - 6·10³)/2]·0.78873}_2,1) = (1/EJ)·(8400 - 8400) = 0.

Результат равен нолю, значит задача по раскрытию статической неопределимости решена верно.

10. Подбор сечения исходя из условия прочности по допустимому напряжению

Подбор выполняется в наиболее нагруженном месте, т.е. в опасном сечении. Опасное сечение располагается в точке, где внутренние силовые факторы дают максимальное напряжение. Для анализа возьмём точку, в которой значение изгибающего момента - M_x = 13.8кН·м, значение осевой силы - N_z = 1.4667кН. Геометрические характеристики сечения определятся исходя из выполнения условия прочности по допустимому напряжению:

σ_x^max = n·(|M_x|/W_x + |N_z|/A) ≤ [σ],

где, W_x - момент сопротивления сечения, A - площадь поперечного сечения, n = 1.5 - коэффициент запаса, [σ] = 160МПа - допустимое напряжение.

Характеристики сечения определятся методом подбора. Согласно формуле определения максимального напряжения величина напряжения состоит из двух частей: напряжения от изгибающего момента и напряжения от осевой силы. При доминировании напряжения от изгибающего момента подбор следует начинать с момента сопротивления, при доминировании напряжения от осевой силы подбор следует начинать с площади сечения. Подбор выполнять по следующим формулам:

W_x = n·|M_x|/[σ]; A = n·|N_z|/[σ].

Получившиеся значения геометрических характеристик сечения округляем до ближайшего большего справочного значения и получаем следующий прокат:

Двутавр №18; A = 23.4см²; J_x = 1290см⁴; W_x = 143см³.

С учётом результата подбора напряжение в опасном сечении равно:

σ_x^max = 1.5·(13.8·10³Н·м/143·10^-6м³ + 1.4667·10³Н/23.4·10^-4м²) = 1.5·(96.503МПа + 0.62678МПа) = 145.7МПа ≤ [σ].

Условие обеспечения прочности по допустимому напряжению выполнено.

n = 1 [•••]

Примечание. Эпюры изгибающего момента построена на растянутом волокне (Диалог "Настройки").

ОТЧЁТ

Исходные данные

F₁ = 3кН;

F₂ = 5кН;

M = 3кН·м;

q = 5кН/м;

т. K - [y].

Рис. 1. Заданная схема.

Расчёт

1. Определение степени статической неопределимости

Степень статической неопределимости равна

n = 1.

2. Выбор основной системы.

Для решения задачи выбрана основная система представленная на рис. 2

Рис. 2. Заданная система.

3. Составление системы канонических уравнений.

δ₁₁·X₁ + Δ_P1 = 0.

(1)

где δ_ij = δ_ji = ∑∫M_iM_j/(EJ)dz - коэффициенты податливости,

Δ_Pi = ∑∫M_PM_i/(EJ)dz - грузовые перемещения,

M_P, M_i - эпюры изгибающих моментов грузовой и единичных систем соответственно,

X_i - усилия подлежащие определению.

4. Построение эпюр изгибающих моментов для единичных систем.

4.1. Единичная система №1.

4.1.1. Определение реакций опор для схемы на рис.3

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_x = X_B - X_C = 0;

∑F_y = 1 + Y_A - Y_C = 0;

∑M_C = -1·2м - Y_A·1м + X_B·1м = 0;

∑M_D = -Y_A·1м = 0.

(2)

Решение уравнений статики (2) даёт следующие значения реакций:

Y_A = 0;

X_B = 2;

X_C = 2;

Y_C = 1.


Рис. 3. Схема реакций.	Рис. 4. Эпюра Mx.

4.1.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.3

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 2м)

M_x = 1·z₁;

при z₁ = 0; M_x = 0.

при z₁ = 2м; M_x = 2.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 1м)

M_x = -X_B·z₂ + 1·2м;

при z₂ = 0; M_x = 2.

при z₂ = 1м; M_x = 0.

5. Построение эпюр изгибающих моментов для грузовой системы.

5.1. Определение реакций опор для схемы на рис.5

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_x = F₂ - q·1.5м - X_B + X_C = 0;

∑F_y = -F₁ + Y_A + Y_C = 0;

∑M_C = F₁·1м + F₂·2.5м + M - q·1.5м·1.75м - Y_A·1м - X_B·1м = 0;

∑M_D = -Y_A·1м - q·1.5м·0.75м + F₂·1.5м = 0.

(3)

Решение уравнений статики (3) даёт следующие значения реакций:

Y_A = 1.875кН;

X_B = 3.5кН;

X_C = 6кН;

Y_C = 1.125кН.


Рис. 5. Схема реакций.	Рис. 6. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент).

5.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.5

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 1м)

M_x = -F₁·z₁;

при z₁ = 0; M_x = 0.

при z₁ = 1м; M_x = -3кН·м.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 1м)

M_x = -Y_A·z₂;

при z₂ = 0; M_x = 0.

при z₂ = 1м; M_x = -1.875кН·м.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 1.5м)

M_x = -q·z₃²/2 - Y_A·1м + F₂·z₃;

при z₃ = 0; M_x = -1.875кН·м.

при z₃ = 1м; M_x = 0.625кН·м.

при z₃ = 1.5м; M_x = 0.

Участок №4 (0 ≤ z₄ ≤ 1м)

M_x = -X_C·z₄ + M;

при z₄ = 0; M_x = 3кН·м.

при z₄ = 1м; M_x = -3кН·м.

6. Определение коэффициентов системы канонических уравнений.

δ₁₁ = ({[1/EJ]·[2·2/2]·1.3333}_1,1 + {[1/(3·EJ)]·[1·2/2]·1.3333}_2,2) = (1/EJ)·(2.6667 + 0.44444) = 3.1111/EJ.

Δ_P1 = ({[1/EJ]·[1·(-3·10³)/2]·1.6667}_1,1 + {[1/(3·EJ)]·(-1·10³)}_4,2) = (1/EJ)·(-2500 - 333.33) = -2833.3/EJ.

Пояснения по расчёту коэффициентов находятся по ссылке

7. Решение системы канонических уравнений.

Система уравнений (1) с вычисленными коэффициентами запишется в следующем виде:

3.1111·X₁ = 2833.3.

Решение системы канонических уравнений (1) даёт следующие значения неизвестных:

X₁ = 0.91071кН.

8. Построение эпюр внутренних силовых факторов для заданной системы.

8.1. Определение реакций опор для схемы на рис.7

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_x = F₂ - q·1.5м - X_B + X_C = 0;

∑F_y = -F₁ + X₁ + Y_A + Y_C = 0;

∑M_C = F₁·1м + F₂·2.5м + M - q·1.5м·1.75м - X₁·2м - Y_A·1м - X_B·1м = 0;

∑M_D = -Y_A·1м - q·1.5м·0.75м + F₂·1.5м = 0.

(4)

Решение уравнений статики (4) даёт следующие значения реакций:

Y_A = 1.875кН;

X_B = 1.6786кН;

X_C = 4.1786кН;

Y_C = 0.21429кН.


Рис. 7. Схема реакций.	Рис. 8. Эпюра Nz, кН (осевая сила).

Рис. 9. Эпюра Qy, кН (поперечная сила).	Рис. 10. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент).

8.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.7

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 1м)

N_z = X_B = 1.6786кН.

Q_y = X₁ = 0.91071кН.

M_x = X₁·z₁;

при z₁ = 0; M_x = 0.

при z₁ = 1м; M_x = 0.91071кН·м.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 1м)

N_z = X_B = 1.6786кН.

Q_y = -F₁ + X₁ = -2.0893кН.

M_x = -F₁·z₂ + X₁·(z₂ + 1м);

при z₂ = 0; M_x = 0.91071кН·м.

при z₂ = 1м; M_x = -1.1786кН·м.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 1м)

N_z = -F₂ = -5кН.

Q_y = Y_A = 1.875кН.

M_x = -Y_A·z₃;

при z₃ = 0; M_x = 0.

при z₃ = 1м; M_x = -1.875кН·м.

Участок №4 (0 ≤ z₄ ≤ 1.5м)

N_z = -Y_A = -1.875кН.

Q_y = q·z₄ - F₂;

при z₄ = 0; Q_y = -5кН.

при z₄ = 1.5м; Q_y = 2.5кН.

M_x = -q·z₄²/2 - Y_A·1м + F₂·z₄;

при z₄ = 0; M_x = -1.875кН·м.

при z₄ = 1м; M_x = 0.625кН·м.

при z₄ = 1.5м; M_x = 0.

Участок №5 (0 ≤ z₅ ≤ 1м)

N_z = Y_C = 0.21429кН.

Q_y = X_C = 4.1786кН.

M_x = -X_C·z₅ + M;

при z₅ = 0; M_x = 3кН·м.

при z₅ = 1м; M_x = -1.1786кН·м.

9. Деформационная проверка.

9.1. Определение реакций опор для схемы на рис.11

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_x = 1 - X_B = 0;

∑F_y = Y_A - Y_B + Y_C = 0;

∑M_B = -1·1м + Y_A·1м + Y_C·2м = 0;

∑M_D = -Y_A·1м = 0.

(5)

Решение уравнений статики (5) даёт следующие значения реакций:

Y_A = 0;

X_B = 1;

Y_B = 0.5;

Y_C = 0.5.


Рис. 11. Схема реакций.	Рис. 12. Эпюра Mx.

9.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.11

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 2м)

M_x = -Y_B·z₁;

при z₁ = 0; M_x = 0.

при z₁ = 2м; M_x = -1.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 1м)

M_x = X_B·z₂ - Y_B·2м;

при z₂ = 0; M_x = -1.

при z₂ = 1м; M_x = 0.

9.3. Проверка

Δ = ({[1/EJ]·[1·910.71/2]·(-0.33333)}_1,1 + {[1/EJ]·[1·(910.71 - 1178.6)/2]·(-1.4)}_2,1 + {[1/(3·EJ)]·[1·(-1178.6 + 3·10³)/2]·(-0.11765)}_5,2) = (1/EJ)·(-151.79 + 187.5 - 35.714) = 0.

Результат равен нолю, значит задача по раскрытию статической неопределимости решена верно.

Теперь для определения перемещения в заданной точке построим соответствующую единичную систему, рассчитаем для неё реакции опор и эпюры изгибающего момента. Перемножение эпюр изгибающих моментов заданной системы и единичной даст искомое перемещение.

10. Определение перемещения точки K

10.1. Определение реакций опор для схемы на рис. 13

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_x = X_B - X_C = 0;

∑F_y = 1 + Y_A - Y_C = 0;

∑M_C = -1·1м - Y_A·1м + X_B·1м = 0;

∑M_D = -Y_A·1м = 0.

(6)

Решение уравнений статики (6) даёт следующие значения реакций:

Y_A = 0;

X_B = 1;

X_C = 1;

Y_C = 1.


Рис. 13. Схема реакций.	Рис. 14. Эпюра Mx.

10.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис. 13

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 1м)

M_x = 1·z₁;

при z₁ = 0; M_x = 0.

при z₁ = 1м; M_x = 1.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 1м)

M_x = 1·1м - X_B·z₂;

при z₂ = 0; M_x = 1.

при z₂ = 1м; M_x = 0.

10.3. Расчёт перемещения

Перемещение определится как результат перемножения эпюр изгибающих моментов для заданной системы (рис. 10) и единичной системы построенной для расчёта перемещения (рис. 14):

Δ_K = ({[1/EJ]·[1·(910.71 - 1178.6)/2]·1.8}_2,1 + {[1/(3·EJ)]·[1·(-1178.6 + 3·10³)/2]·0.11765}_5,2) = (1/EJ)·(-241.07 + 35.714) = -205.4/EJ.

Пояснения по расчёту перемещения находятся по ссылке

n = 2 [••]

ОТЧЁТ

Исходные данные

F = 7кН;

q = 5кН/м;

M = 3кН·м;

т. K - [θ_z].

Рис. 1. Заданная схема.

Расчёт

1. Определение степени статической неопределимости

Степень статической неопределимости равна

n = 2.

2. Выбор основной системы.

Для решения задачи выбрана основная система представленная на рис. 2

Рис. 2. Заданная система.

3. Составление системы канонических уравнений.

δ₁₁·X₁ + δ₁₂·X₂ + Δ_P1 = 0;

δ₂₁·X₁ + δ₂₂·X₂ + Δ_P2 = 0.

(1)

где δ_ij = δ_ji = ∑∫M_iM_j/(EJ)dz - коэффициенты податливости,

Δ_Pi = ∑∫M_PM_i/(EJ)dz - грузовые перемещения,

M_P, M_i - эпюры изгибающих моментов грузовой и единичных систем соответственно,

X_i - усилия подлежащие определению.

4. Построение эпюр изгибающих моментов для единичных систем.

4.1. Единичная система №1.

4.1.1. Определение реакций опор для схемы на рис.3

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_x = -X_A + X_B = 0;

∑F_y = 1 - Y_B = 0;

∑M_B = -1·1м + X_A·1.5м = 0.

(2)

Решение уравнений статики (2) даёт следующие значения реакций:

X_A = 0.66667;

X_B = 0.66667;

Y_B = 1.


Рис. 3. Схема реакций.	Рис. 4. Эпюра Mx.

4.1.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.3

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 3м)

M_x = 1·z₁;

при z₁ = 0; M_x = 0.

при z₁ = 3м; M_x = 3.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 1.5м)

M_x = -X_A·z₂ + 1·3м;

при z₂ = 0; M_x = 3.

при z₂ = 1.5м; M_x = 2.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 2м)

M_x = -X_A·1.5м + 1·(3м - z₃);

при z₃ = 0; M_x = 2.

при z₃ = 2м; M_x = 0.

4.2. Единичная система №2.

4.2.1. Определение реакций опор для схемы на рис.5

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_x = X_A - X_B = 0;

∑M_B = 1 - X_A·1.5м = 0.

(3)

Решение уравнений статики (3) даёт следующие значения реакций:

X_A = 0.66667;

X_B = 0.66667.


Рис. 5. Схема реакций.	Рис. 6. Эпюра Mx.

4.2.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.5

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 1.5м)

M_x = -X_B·z₁;

при z₁ = 0; M_x = 0.

при z₁ = 1.5м; M_x = -1.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 3м)

M_x = -X_B·1.5м = -1.

5. Построение эпюр изгибающих моментов для грузовой системы.

5.1. Определение реакций опор для схемы на рис.7

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_x = -X_A + X_B = 0;

∑F_y = F - q·2м + Y_B = 0;

∑M_B = -q·2м·1м + M + X_A·1.5м = 0.

(4)

Решение уравнений статики (4) даёт следующие значения реакций:

X_A = 4.6667кН;

X_B = 4.6667кН;

Y_B = 3кН.


Рис. 7. Схема реакций.	Рис. 8. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент).

5.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.7

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 2м)

M_x = F·z₁ - q·z₁²/2;

при z₁ = 0; M_x = 0.

при z₁ = 1.4м; M_x = 4.9кН·м.

при z₁ = 2м; M_x = 4кН·м.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 1.5м)

M_x = F·2м - q·2м·1м - X_A·z₂;

при z₂ = 0; M_x = 4кН·м.

при z₂ = 1.5м; M_x = -3кН·м.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 2м)

M_x = F·(2м - z₃) - q·2м·(1м - z₃) - X_A·1.5м;

при z₃ = 0; M_x = -3кН·м.

при z₃ = 2м; M_x = 3кН·м.

6. Определение коэффициентов системы канонических уравнений.

δ₁₁ = ({[1/(1.5·EJ)]·[3·3/2]·2}_1,1 + {[1/EJ]·[1.5·(3 + 2)/2]·2.5333}_2,2 + {[1/EJ]·[2·2/2]·1.3333}_3,3) = (1/EJ)·(6 + 9.5 + 2.6667) = 18.167/EJ.

δ₁₂ = δ₂₁ = ({[1/(1.5·EJ)]·[3·3/2]·(-1)}_1,2 + {[1/EJ]·[1.5·(3 + 2)/2]·(-0.53333)}_2,1) = (1/EJ)·(-3 - 2) = -5/EJ.

δ₂₂ = ({[1/EJ]·[1.5·(-1)/2]·(-0.66667)}_1,1 + {[1/(1.5·EJ)]·[3·(-1)]·(-1)}_2,2) = (1/EJ)·(0.5 + 2) = 2.5/EJ.

Δ_P1 = ({[1/(1.5·EJ)]·[7333.3]·2.1818}_1,1 + {[1/EJ]·[1.5·(4·10³ - 3·10³)/2]·3.6667}_2,2 + {[1/EJ]·(-2·10³)}_3,3) = (1/EJ)·(10667 + 2750 - 2·10³) = 11417/EJ.

Δ_P2 = ({[1/(1.5·EJ)]·[7333.3]·(-1)}_1,2 + {[1/EJ]·[1.5·(4·10³ - 3·10³)/2]·(-1.6667)}_2,1) = (1/EJ)·(-4888.9 - 1250) = -6138.9/EJ.

Пояснения по расчёту коэффициентов находятся по ссылке

7. Решение системы канонических уравнений.

Система уравнений (1) с вычисленными коэффициентами запишется в следующем виде:

18.167·X₁ - 5·X₂ = -11417;

-5·X₁ + 2.5·X₂ = 6138.9.

Решение системы канонических уравнений (1) даёт следующие значения неизвестных:

X₁ = 0.10544кН;

X₂ = 2.6664кН·м.

8. Построение эпюр внутренних силовых факторов для заданной системы.

8.1. Определение реакций опор для схемы на рис.9

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_x = -X_A + X_B = 0;

∑F_y = F₁ - q·2м + X₁ + Y_B = 0;

∑M_B = -q·2м·1м + M₁ - X₁·1м + X₂ + X_A·1.5м = 0.

(5)

Решение уравнений статики (5) даёт следующие значения реакций:

X_A = 2.9593кН;

X_B = 2.9593кН;

Y_B = 2.8946кН.


Рис. 9. Схема реакций.	Рис. 10. Эпюра Nz, кН (осевая сила).

Рис. 11. Эпюра Qy, кН (поперечная сила).	Рис. 12. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент).

8.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.9

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 1м)

N_z = X_A = 2.9593кН.

Q_y = X₁ = 0.10544кН.

M_x = X₁·z₁ - X₂;

при z₁ = 0; M_x = -2.6664кН·м.

при z₁ = 1м; M_x = -2.561кН·м.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 2м)

N_z = -X_B = -2.9593кН.

Q_y = Y_B = 2.8946кН.

M_x = -Y_B·z₂ + M₁;

при z₂ = 0; M_x = 3кН·м.

при z₂ = 2м; M_x = -2.7891кН·м.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 1.5м)

N_z = -Y_B = -2.8946кН.

Q_y = -X_B = -2.9593кН.

M_x = X_B·z₃ - Y_B·2м + M₁;

при z₃ = 0; M_x = -2.7891кН·м.

при z₃ = 1.5м; M_x = 1.6499кН·м.

Участок №4 (0 ≤ z₄ ≤ 2м)

N_z = X_B = 2.9593кН.

Q_y = q·z₄ - Y_B;

при z₄ = 0; Q_y = -2.8946кН.

при z₄ = 2м; Q_y = 7.1054кН.

M_x = -q·z₄²/2 + X_B·1.5м - Y_B·(2м - z₄) + M₁;

при z₄ = 0; M_x = 1.6499кН·м.

при z₄ = 0.57891м; M_x = 2.4877кН·м.

при z₄ = 2м; M_x = -2.561кН·м.

9. Деформационная проверка.

9.1. Определение реакций опор для схемы на рис.13

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_x = 1 - X_A = 0;

∑F_y = 1 - Y_A = 0;

∑M_A = 1·1.5м + 1·1м - M_A = 0.

(6)

Решение уравнений статики (6) даёт следующие значения реакций:

X_A = 1;

Y_A = 1;

M_A = 2.5.


Рис. 13. Схема реакций.	Рис. 14. Эпюра Mx.

9.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.13

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 2м)

M_x = -1·z₁;

при z₁ = 0; M_x = 0.

при z₁ = 2м; M_x = -2.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 1.5м)

M_x = 1·z₂ - 1·2м;

при z₂ = 0; M_x = -2.

при z₂ = 1.5м; M_x = -0.5.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 3м)

M_x = 1·1.5м - 1·(2м - z₃);

при z₃ = 0; M_x = -0.5.

при z₃ = 3м; M_x = 2.5.

9.3. Проверка

Выполним перемножение эпюр изгибающих моментов для заданной системы (рис. 12) и единичной системы деформационной проверки (рис. 14):

Δ = ({[1/(1.5·EJ)]·[1·(-2666.4 - 2561)/2]·2.0034}_1,3 + {[1/EJ]·[2·(-2789.1 + 3·10³)/2]·8.1505}_2,1 + {[1/EJ]·[1.5·(1649.9 - 2789.1)/2]·(-2.2241)}_3,2 + {[1/(1.5·EJ)]·[2422.2]·(-0.079479)}_4,3) = (1/EJ)·(-3490.8 + 1718.8 + 1900.3 - 128.34) = 0.

Результат равен нолю, значит задача по раскрытию статической неопределимости решена верно.

10. Определение перемещения точки K

10.1. Определение реакций опор для схемы на рис. 15

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_x = X_A - X_B = 0;

∑M_B = 1 - X_A·1.5м = 0.

(7)

Решение уравнений статики (7) даёт следующие значения реакций:

X_A = 0.66667;

X_B = 0.66667.


Рис. 15. Схема реакций.	Рис. 16. Эпюра Mx.

10.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис. 15

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 1.5м)

M_x = X_A·z₁;

при z₁ = 0; M_x = 0.

при z₁ = 1.5м; M_x = 1.

10.3. Расчёт перемещения

Перемещение определится как результат перемножения эпюр изгибающих моментов для заданной системы (рис. 12) и единичной системы построенной для расчёта перемещения (рис. 16):

θ_K = ({[1/EJ]·[1.5·(1649.9 - 2789.1)/2]·1.1494}_3,1) = (1/EJ)·(-982.09) = -982.1/EJ.

Пояснения по расчёту перемещения находятся по ссылке

n = 2 [••]

Примечание. Эпюры изгибающего момента построена на растянутом волокне (Диалог "Настройки").

ОТЧЁТ

Исходные данные

F₁ = 9кН;

F₂ = 7кН;

q₁ = 7кН/м;

q₂ = 3кН/м.

Рис. 1. Заданная схема.

Расчёт

1. Определение степени статической неопределимости

Степень статической неопределимости равна

n = 2.

2. Выбор основной системы.

Для решения задачи выбрана основная система представленная на рис. 2

Рис. 2. Заданная система.

3. Составление системы канонических уравнений.

δ₁₁·X₁ + δ₁₂·X₂ + Δ_P1 = 0;

δ₂₁·X₁ + δ₂₂·X₂ + Δ_P2 = 0.

(1)

где δ_ij = δ_ji = ∑∫M_iM_j/(EJ)dz - коэффициенты податливости,

Δ_Pi = ∑∫M_PM_i/(EJ)dz - грузовые перемещения,

M_P, M_i - эпюры изгибающих моментов грузовой и единичных систем соответственно,

X_i - усилия подлежащие определению.

4. Построение эпюр изгибающих моментов для единичных систем.

4.1. Единичная система №1.

4.1.1. Определение реакций опор для схемы на рис.3

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_x = 1 - X_A = 0;

∑F_y = -Y_A + Y_B + Y_C = 0;

∑M_A = M_A - Y_B·1.5м + Y_C·2м = 0;

∑M_D = -Y_B·1.5м + 1·2м = 0;

∑M_E = Y_C·1м = 0.

(2)

Решение уравнений статики (2) даёт следующие значения реакций:

X_A = 1;

Y_A = 1.3333;

M_A = 2;

Y_B = 1.3333;

Y_C = 0.

Рис. 3. Схема реакций.

Рис. 4. Эпюра Mx.

4.1.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.3

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 2м)

M_x = -1·z₁;

при z₁ = 0; M_x = 0.

при z₁ = 2м; M_x = -2.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 1.5м)

M_x = Y_B·z₂ - 1·2м;

при z₂ = 0; M_x = -2.

при z₂ = 1.5м; M_x = 0.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 2м)

M_x = Y_B·1.5м - 1·(2м - z₃);

при z₃ = 0; M_x = 0.

при z₃ = 2м; M_x = 2.

4.2. Единичная система №2.

4.2.1. Определение реакций опор для схемы на рис.5

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_x = 1 - X_A = 0;

∑F_y = Y_A + Y_B - Y_C = 0;

∑M_A = 1·0.5м + M_A - Y_B·1.5м - Y_C·2м = 0;

∑M_D = -Y_B·1.5м = 0;

∑M_E = -Y_C·1м + 1·4.5м = 0.

(3)

Решение уравнений статики (3) даёт следующие значения реакций:

X_A = 1;

Y_A = 4.5;

M_A = 8.5;

Y_B = 0;

Y_C = 4.5.

Рис. 5. Схема реакций.

Рис. 6. Эпюра Mx.

4.2.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.5

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 4.5м)

M_x = 1·z₁;

при z₁ = 0; M_x = 0.

при z₁ = 4.5м; M_x = 4.5.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 1м)

M_x = -Y_C·z₂ + 1·4.5м;

при z₂ = 0; M_x = 4.5.

при z₂ = 1м; M_x = 0.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 1м)

M_x = -Y_C·(z₃ + 1м) + 1·4.5м;

при z₃ = 0; M_x = 0.

при z₃ = 1м; M_x = -4.5.

Участок №4 (0 ≤ z₄ ≤ 2м)

M_x = -Y_C·2м + 1·(4.5м - z₄);

при z₄ = 0; M_x = -4.5.

при z₄ = 2м; M_x = -6.5.

Участок №5 (0 ≤ z₅ ≤ 2м)

M_x = -Y_C·2м + 1·(2.5м - z₅);

при z₅ = 0; M_x = -6.5.

при z₅ = 2м; M_x = -8.5.

5. Построение эпюр изгибающих моментов для грузовой системы.

5.1. Определение реакций опор для схемы на рис.7

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_x = F₂ + q₁·2м - q₂·4.5м - X_A = 0;

∑F_y = -F₁ - Y_A + Y_B + Y_C = 0;

∑M_A = F₁·0.75м - F₂·4м - q₁·2м·1м + q₂·4.5м·1.75м - M_A - Y_B·1.5м + Y_C·2м = 0;

∑M_D = -Y_B·1.5м + F₁·0.75м + q₁·2м·1м = 0;

∑M_E = Y_C·1м - q₂·4.5м·2.25м = 0.

(4)

Решение уравнений статики (4) даёт следующие значения реакций:

X_A = 7.5кН;

Y_A = 35.208кН;

M_A = 28.375кН·м;

Y_B = 13.833кН;

Y_C = 30.375кН.

Рис. 7. Схема реакций.

Рис. 8. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент).

5.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.7

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 2м)

M_x = -q₁·z₁²/2;

при z₁ = 0; M_x = 0.

при z₁ = 2м; M_x = -14кН·м.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 0.75м)

M_x = Y_B·z₂ - q₁·2м·1м;

при z₂ = 0; M_x = -14кН·м.

при z₂ = 0.75м; M_x = -3.625кН·м.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 0.75м)

M_x = -F₁·z₃ + Y_B·(z₃ + 0.75м) - q₁·2м·1м;

при z₃ = 0; M_x = -3.625кН·м.

при z₃ = 0.75м; M_x = 0.

Участок №4 (0 ≤ z₄ ≤ 4.5м)

M_x = -q₂·z₄²/2;

при z₄ = 0; M_x = 0.

при z₄ = 4.5м; M_x = -30.375кН·м.

Участок №5 (0 ≤ z₅ ≤ 1м)

M_x = Y_C·z₅ - q₂·4.5м·2.25м;

при z₅ = 0; M_x = -30.375кН·м.

при z₅ = 1м; M_x = 0.

Участок №6 (0 ≤ z₆ ≤ 1м)

M_x = Y_C·(z₆ + 1м) - q₂·4.5м·2.25м;

при z₆ = 0; M_x = 0.

при z₆ = 1м; M_x = 30.375кН·м.

Участок №7 (0 ≤ z₇ ≤ 2м)

M_x = -F₂·z₇ + Y_C·2м - q₂·4.5м·(2.25м - z₇);

при z₇ = 0; M_x = 30.375кН·м.

при z₇ = 2м; M_x = 43.375кН·м.

Участок №8 (0 ≤ z₈ ≤ 2м)

M_x = -X_A·z₈ - M_A;

при z₈ = 0; M_x = -28.375кН·м.

при z₈ = 2м; M_x = -43.375кН·м.

6. Определение коэффициентов системы канонических уравнений.

δ₁₁ = ({[1/(1.5·EJ)]·[2·(-2)/2]·(-1.3333)}_1,1 + {[1/EJ]·[1.5·(-2)/2]·(-1.3333)}_2,2 + {[1/EJ]·[2·2/2]·1.3333}_3,3) = (1/EJ)·(1.7778 + 2 + 2.6667) = 6.4444/EJ.

δ₁₂ = δ₂₁ = ({[1/EJ]·[2·2/2]·7.8333}_3,5) = (1/EJ)·(15.667) = 15.667/EJ.

δ₂₂ = ({[1/(1.5·EJ)]·[4.5·4.5/2]·3}_1,1 + {[1/EJ]·[1·4.5/2]·3}_2,2 + {[1/EJ]·[1·(-4.5)/2]·(-3)}_3,3 + {[1/EJ]·[2·(-6.5 - 4.5)/2]·(-5.5606)}_4,4 + {[1/EJ]·[2·(-8.5 - 6.5)/2]·(-7.5444)}_5,5) = (1/EJ)·(20.25 + 6.75 + 6.75 + 61.167 + 113.17) = 208.08/EJ.

Δ_P1 = ({[1/(1.5·EJ)]·[-9333.3]·(-1.5)}_1,1 + {[1/EJ]·[0.75·(-1.4·10⁴ - 3625)/2]·(-1.5981)}_2,2 + {[1/EJ]·[0.75·(-3625)/2]·(-0.66667)}_3,2 + {[1/EJ]·[2·(-43375 - 28375)/2]·0.93031}_8,3) = (1/EJ)·(9333.3 + 10562 + 906.25 - 66750) = -45948/EJ.

Δ_P2 = ({[1/(1.5·EJ)]·[-45562]·3.375}_4,1 + {[1/EJ]·[1·(-30375)/2]·3}_5,2 + {[1/EJ]·[1·30375/2]·(-3)}_6,3 + {[1/EJ]·[2·(43375 + 30375)/2]·(-5.5588)}_7,4 + {[1/EJ]·[2·(-43375 - 28375)/2]·7.4303}_8,5) = (1/EJ)·(-102516 - 45562 - 45562 - 409958 - 533125) = -1136724/EJ.

Пояснения по расчёту коэффициентов находятся по ссылке

7. Решение системы канонических уравнений.

Система уравнений (1) с вычисленными коэффициентами запишется в следующем виде:

6.4444·X₁ + 15.667·X₂ = 45948;

15.667·X₁ + 208.08·X₂ = 1136724.

Решение системы канонических уравнений (1) даёт следующие значения неизвестных:

X₁ = 7.5284кН;

X₂ = 6.0296кН.

8. Построение эпюр внутренних силовых факторов для заданной системы.

8.1. Определение реакций опор для схемы на рис.9

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_x = F₂ + q₁·2м - q₂·4.5м - X₁ + X₂ - X_A = 0;

∑F_y = -F₁ + Y_A + Y_B + Y_C = 0;

∑M_A = F₁·0.75м - F₂·4м - q₁·2м·1м + q₂·4.5м·1.75м + X₂·0.5м + M_A - Y_B·1.5м + Y_C·2м = 0;

∑M_D = -Y_B·1.5м + F₁·0.75м + q₁·2м·1м - X₁·2м = 0;

∑M_E = Y_C·1м - q₂·4.5м·2.25м + X₂·4.5м = 0.

(5)

Решение уравнений статики (5) даёт следующие значения реакций:

X_A = 6.0012кН;

Y_A = 1.963кН;

M_A = 7.8201кН·м;

Y_B = 3.7954кН;

Y_C = 3.2416кН.

Рис. 9. Схема реакций.

Рис. 10. Эпюра Nz, кН (осевая сила).

Рис. 11. Эпюра Qy, кН (поперечная сила).

Рис. 12. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент).

8.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.9

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 2м)

N_z = -Y_B = -3.7954кН.

Q_y = X₁ - q₁·z₁;

при z₁ = 0; Q_y = 7.5284кН.

при z₁ = 2м; Q_y = -6.4716кН.

M_x = X₁·z₁ - q₁·z₁²/2;

при z₁ = 0; M_x = 0.

при z₁ = 1.0755м; M_x = 4.0484кН·м.

при z₁ = 2м; M_x = 1.0569кН·м.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 0.75м)

N_z = X₁ - q₁·2м = -6.4716кН.

Q_y = Y_B = 3.7954кН.

M_x = Y_B·z₂ + X₁·2м - q₁·2м·1м;

при z₂ = 0; M_x = 1.0569кН·м.

при z₂ = 0.75м; M_x = 3.9034кН·м.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 0.75м)

N_z = X₁ - q₁·2м = -6.4716кН.

Q_y = -F₁ + Y_B = -5.2046кН.

M_x = -F₁·z₃ + Y_B·(z₃ + 0.75м) + X₁·2м - q₁·2м·1м;

при z₃ = 0; M_x = 3.9034кН·м.

при z₃ = 0.75м; M_x = 0.

Участок №4 (0 ≤ z₄ ≤ 4.5м)

N_z = -Y_C = -3.2416кН.

Q_y = -X₂ + q₂·z₄;

при z₄ = 0; Q_y = -6.0296кН.

при z₄ = 4.5м; Q_y = 7.4704кН.

M_x = X₂·z₄ - q₂·z₄²/2;

при z₄ = 0; M_x = 0.

при z₄ = 2.0099м; M_x = 6.0594кН·м.

при z₄ = 4.5м; M_x = -3.2416кН·м.

Участок №5 (0 ≤ z₅ ≤ 1м)

N_z = X₂ - q₂·4.5м = -7.4704кН.

Q_y = -Y_C = -3.2416кН.

M_x = Y_C·z₅ + X₂·4.5м - q₂·4.5м·2.25м;

при z₅ = 0; M_x = -3.2416кН·м.

при z₅ = 1м; M_x = 0.

Участок №6 (0 ≤ z₆ ≤ 1м)

N_z = X₂ - q₂·4.5м = -7.4704кН.

Q_y = -Y_C = -3.2416кН.

M_x = Y_C·(z₆ + 1м) + X₂·4.5м - q₂·4.5м·2.25м;

при z₆ = 0; M_x = 0.

при z₆ = 1м; M_x = 3.2416кН·м.

Участок №7 (0 ≤ z₇ ≤ 2м)

N_z = Y_C = 3.2416кН.

Q_y = F₂ + X₂ - q₂·4.5м = -0.47035кН.

M_x = -F₂·z₇ + Y_C·2м + X₂·(4.5м - z₇) - q₂·4.5м·(2.25м - z₇);

при z₇ = 0; M_x = 3.2416кН·м.

при z₇ = 2м; M_x = 4.1823кН·м.

Участок №8 (0 ≤ z₈ ≤ 2м)

N_z = -Y_A = -1.963кН.

Q_y = X_A = 6.0012кН.

M_x = -X_A·z₈ + M_A;

при z₈ = 0; M_x = 7.8201кН·м.

при z₈ = 2м; M_x = -4.1823кН·м.

9. Деформационная проверка.

9.1. Определение реакций опор для схемы на рис.13

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_x = 1 - X_B + X_C = 0;

∑F_y = Y_A - Y_B - Y_C = 0;

∑M_B = 1 + Y_A·1.5м + X_C·0.5м - Y_C·3.5м = 0;

∑M_D = -X_B·2м + Y_B·1.5м = 0;

∑M_E = X_C·4.5м - Y_C·1м = 0.

(6)

Решение уравнений статики (6) даёт следующие значения реакций:

Y_A = 4.0256;

X_B = 1.4615;

Y_B = 1.9487;

X_C = 0.46154;

Y_C = 2.0769.

Рис. 13. Схема реакций.

Рис. 14. Эпюра Mx.

9.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.13

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 2м)

M_x = X_B·z₁;

при z₁ = 0; M_x = 0.

при z₁ = 2м; M_x = 2.9231.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 1.5м)

M_x = X_B·2м - Y_B·z₂;

при z₂ = 0; M_x = 2.9231.

при z₂ = 1.5м; M_x = 0.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 4.5м)

M_x = X_C·z₃;

при z₃ = 0; M_x = 0.

при z₃ = 4.5м; M_x = 2.0769.

Участок №4 (0 ≤ z₄ ≤ 1м)

M_x = X_C·4.5м - Y_C·z₄;

при z₄ = 0; M_x = 2.0769.

при z₄ = 1м; M_x = 0.

Участок №5 (0 ≤ z₅ ≤ 1м)

M_x = X_C·4.5м - Y_C·(z₅ + 1м);

при z₅ = 0; M_x = 0.

при z₅ = 1м; M_x = -2.0769.

Участок №6 (0 ≤ z₆ ≤ 2м)

M_x = X_C·(4.5м - z₆) - Y_C·2м;

при z₆ = 0; M_x = -2.0769.

при z₆ = 2м; M_x = -3.

Участок №7 (0 ≤ z₇ ≤ 2м)

M_x = 1·z₇ + 1;

при z₇ = 0; M_x = 1.

при z₇ = 2м; M_x = 3.

9.3. Проверка

Δ = ({[1/(1.5·EJ)]·[5723.5]·1.5515}_1,1 + {[1/EJ]·[0.75·(1056.9 + 3903.4)/2]·2.0525}_2,2 + {[1/EJ]·[0.75·3903.4/2]·0.97436}_3,2 + {[1/(1.5·EJ)]·[15488]·0.87545}_4,3 + {[1/EJ]·[1·(-3241.6)/2]·1.3846}_5,4 + {[1/EJ]·[1·3241.6/2]·(-1.3846)}_6,5 + {[1/EJ]·[2·(4182.3 + 3241.6)/2]·(-2.558)}_7,6 + {[1/EJ]·[2·(-4182.3 + 7820.1)/2]·0.90023}_8,7) = (1/EJ)·(5920 + 3817.9 + 1426.3 + 9039.1 - 2244.2 - 2244.2 - 18990 + 3274.9) = 0.

Результат равен нолю, значит задача по раскрытию статической неопределимости решена верно.

n = 2 [•]

Примечание. Операция "Разрыв контура" применена к вертикальному стержню с шарнирами по обоим концам. По ходу решения указанный стержень удаляется и заменяется парой сил.

ОТЧЁТ

Исходные данные

F = 5кН;

q = 1кН/м.

Рис. 1. Заданная схема.

Расчёт

1. Определение степени статической неопределимости

Степень статической неопределимости равна

n = 2.

2. Выбор основной системы.

Для решения задачи выбрана основная система, представленная на рис. 2

Рис. 2. Основная система.

3. Составление системы канонических уравнений.

δ₁₁·X₁ + δ₁₂·X₂ + Δ_P1 = 0;

δ₂₁·X₁ + δ₂₂·X₂ + Δ_P2 = 0.

(1)

где δ_ij = δ_ji = ∑∫M_iM_j/(EJ)dz - коэффициенты податливости,

Δ_Pi = ∑∫M_PM_i/(EJ)dz - грузовые перемещения,

M_P, M_i - эпюры изгибающих моментов грузовой и единичных систем соответственно,

X_i - усилия подлежащие определению.

4. Построение эпюр изгибающих моментов для единичных систем.

4.1. Единичная система №1.

4.1.1. Определение реакций опор для схемы на рис.3

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_x = 1 - X_B = 0;

∑F_y = Y_A + Y_B = 0;

∑M_B = -Y_A·4м = 0.

(2)

Решение уравнений статики (2) даёт следующие значения реакций:

Y_A = 0;

X_B = 1;

Y_B = 0.


Рис. 3. Схема реакций.	Рис. 4. Эпюра Mx.

4.1.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.3

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 1м)

M_x = -1·z₁;

при z₁ = 0; M_x = 0.

при z₁ = 1м; M_x = -1.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 3м)

M_x = -1·1м = -1.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 1м)

M_x = -1·1м = -1.

Участок №4 (0 ≤ z₄ ≤ 1м)

M_x = -1·(1м - z₄);

при z₄ = 0; M_x = -1.

при z₄ = 1м; M_x = 0.

4.2. Единичная система №2.

4.2.1. Определение реакций опор для схемы на рис.5

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_y = 1 - 1 + Y_A + Y_B = 0;

∑M_B = -1·1м + 1·1м - Y_A·4м = 0.

(3)

Решение уравнений статики (3) даёт следующие значения реакций:

Y_A = 0;

Y_B = 0.


Рис. 5. Схема реакций.	Рис. 6. Эпюра Mx.

4.2.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.5

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 3м)

M_x = -1·z₁;

при z₁ = 0; M_x = 0.

при z₁ = 3м; M_x = -3.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 1.5м)

M_x = -1·3м = -3.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 3м)

M_x = -1·(3м - z₃);

при z₃ = 0; M_x = -3.

при z₃ = 3м; M_x = 0.

5. Построение эпюр изгибающих моментов для грузовой системы.

5.1. Определение реакций опор для схемы на рис.7

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_x = F - X_B = 0;

∑F_y = -q·3м - Y_A + Y_B = 0;

∑M_B = -F·2.5м + q·3м·2.5м + Y_A·4м = 0.

(4)

Решение уравнений статики (4) даёт следующие значения реакций:

Y_A = 1.25кН;

X_B = 5кН;

Y_B = 4.25кН.


Рис. 7. Схема реакций.	Рис. 8. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент).

5.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.7

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 3м)

M_x = q·z₁²/2;

при z₁ = 0; M_x = 0.

при z₁ = 3м; M_x = 4.5кН·м.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 1.5м)

M_x = F·z₂ + q·3м·1.5м;

при z₂ = 0; M_x = 4.5кН·м.

при z₂ = 1.5м; M_x = 12кН·м.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 1м)

M_x = -X_B·z₃;

при z₃ = 0; M_x = 0.

при z₃ = 1м; M_x = -5кН·м.

Участок №4 (0 ≤ z₄ ≤ 1м)

M_x = -X_B·1м + Y_B·z₄;

при z₄ = 0; M_x = -5кН·м.

при z₄ = 1м; M_x = -0.75кН·м.

Участок №5 (0 ≤ z₅ ≤ 3м)

M_x = -X_B·1м + Y_B·(z₅ + 1м);

при z₅ = 0; M_x = -0.75кН·м.

при z₅ = 3м; M_x = 12кН·м.

6. Определение коэффициентов системы канонических уравнений.

δ₁₁ = [1/EJ]·({[1·(-1)/2]·(-0.66667)}_1,1 + {[3·(-1)]·(-1)}_2,2 + {[1·(-1)]·(-1)}_3,3 + {[1·(-1)/2]·(-0.66667)}_4,4) = (1/EJ)·(0.33333 + 3 + 1 + 0.33333) = 4.6667/EJ.

δ₁₂ = δ₂₁ = [1/EJ]·({[3·(-1)]·1.5}_2,1) = (1/EJ)·(-4.5) = -4.5/EJ.

δ₂₂ = [1/EJ]·({[3·(-3)/2]·(-2)}_1,1 + {[1.5·(-3)]·(-3)}_2,2 + {[3·(-3)/2]·(-2)}_3,3) = (1/EJ)·(9 + 13.5 + 9) = 31.5/EJ.

Δ_P1 = [1/EJ]·({[1·(-5·10³)/2]·(-0.66667)}_3,4 + {[1·(-750 - 5·10³)/2]·(-1)}_4,3 + {[3·(1.2·10⁴ - 750)/2]·(-1)}_5,2) = (1/EJ)·(1666.7 + 2875 - 16875) = -12333/EJ.

Δ_P2 = [1/EJ]·({[4500]·2.25}_1,3 + {[1.5·(4500 + 1.2·10⁴)/2]·3}_2,2 + {[3·(1.2·10⁴ - 750)/2]·2.0667}_5,1) = (1/EJ)·(10125 + 37125 + 34875) = 82125/EJ.

Пояснения по расчёту коэффициентов находятся по ссылке

7. Решение системы канонических уравнений.

Система уравнений (1) с вычисленными коэффициентами запишется в следующем виде:

4.6667·X₁ - 4.5·X₂ = 12333;

-4.5·X₁ + 31.5·X₂ = -82125.

Решение системы канонических уравнений (1) даёт следующие значения неизвестных:

X₁ = 0.14941кН;

X₂ = 2.5858кН.

8. Построение эпюр внутренних силовых факторов для заданной системы.

8.1. Определение реакций опор для схемы на рис.9

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_x = F + X₁ - X_B = 0;

∑F_y = -q·3м - X₂ + X₂ - Y_A + Y_B = 0;

∑M_B = -F·2.5м + q·3м·2.5м + X₂·1м - X₂·1м + Y_A·4м = 0.

(5)

Решение уравнений статики (5) даёт следующие значения реакций:

Y_A = 1.25кН;

X_B = 5.1494кН;

Y_B = 4.25кН.


Рис. 9. Схема реакций.	Рис. 10. Эпюра Nz, кН (осевая сила).

Рис. 11. Эпюра Qy, кН (поперечная сила).	Рис. 12. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент).

8.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.9

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 1м)

N_z = Y_A = 1.25кН.

Q_y = -X₁ = -0.14941кН.

M_x = -X₁·z₁;

при z₁ = 0; M_x = 0.

при z₁ = 1м; M_x = -0.14941кН·м.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 1м)

N_z = -Y_B = -4.25кН.

Q_y = X_B = 5.1494кН.

M_x = -X_B·z₂;

при z₂ = 0; M_x = 0.

при z₂ = 1м; M_x = -5.1494кН·м.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 1м)

N_z = -X_B = -5.1494кН.

Q_y = -Y_B = -4.25кН.

M_x = -X_B·1м + Y_B·z₃;

при z₃ = 0; M_x = -5.1494кН·м.

при z₃ = 1м; M_x = -0.89941кН·м.

Участок №4 (0 ≤ z₄ ≤ 3м)

N_z = -X_B = -5.1494кН.

Q_y = X₂ - Y_B = -1.6642кН.

M_x = -X₂·z₄ - X_B·1м + Y_B·(z₄ + 1м);

при z₄ = 0; M_x = -0.89941кН·м.

при z₄ = 3м; M_x = 4.0932кН·м.

Участок №5 (0 ≤ z₅ ≤ 3м)

Q_y = q·z₅ - X₂;

при z₅ = 0; Q_y = -2.5858кН.

при z₅ = 3м; Q_y = 0.4142кН.

M_x = -q·z₅²/2 + X₂·z₅;

при z₅ = 0; M_x = 0.

при z₅ = 2.5858м; M_x = 3.3432кН·м.

при z₅ = 3м; M_x = 3.2574кН·м.

Участок №6 (0 ≤ z₆ ≤ 1.5м)

N_z = -q·3м + X₂ = -0.4142кН.

Q_y = F = 5кН.

M_x = -F·z₆ - q·3м·1.5м + X₂·3м;

при z₆ = 0; M_x = 3.2574кН·м.

при z₆ = 1.5м; M_x = -4.2426кН·м.

9. Деформационная проверка.

9.1. Определение реакций опор для схемы на рис.13

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_x = 1 - X_A = 0;

∑F_y = Y_A + Y_B = 0;

∑M_A = Y_B·4м = 0.

(6)

Решение уравнений статики (6) даёт следующие значения реакций:

X_A = 1;

Y_A = 0;

Y_B = 0.


Рис. 13. Схема реакций.	Рис. 14. Эпюра Mx.

9.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.13

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 1м)

M_x = X_A·z₁;

при z₁ = 0; M_x = 0.

при z₁ = 1м; M_x = 1.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 3м)

M_x = X_A·1м = 1.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 1м)

M_x = X_A·1м = 1.

Участок №4 (0 ≤ z₄ ≤ 1м)

M_x = X_A·(1м - z₄);

при z₄ = 0; M_x = 1.

при z₄ = 1м; M_x = 0.

9.3. Проверка

Δ = [1/EJ]·({[1·(-149.41)/2]·0.66667}_1,1 + {[1·(-5149.4)/2]·0.66667}_2,4 + {[1·(-899.41 - 5149.4)/2]·1}_3,3 + {[3·(4093.2 - 899.41)/2]·1}_4,2) = (1/EJ)·(-49.803 - 1716.5 - 3024.4 + 4790.7) = 0.

Результат равен нолю, значит задача по раскрытию статической неопределимости решена верно.

n = 2 [•]

Примечание. Операция "Разрыв контура" применена к нижнему горизонтальному стержню с шарнирами по обоим концам. По ходу решения указанный стержень удаляется и заменяется парой сил.

ОТЧЁТ

Исходные данные

q = 3кН/м;

F = 3кН;

M = 1кН·м.

Рис. 1. Заданная схема.

Расчёт

1. Определение степени статической неопределимости

Степень статической неопределимости равна

n = 2.

2. Выбор основной системы.

Для решения задачи выбрана основная система, представленная на рис. 2

Рис. 2. Основная система.

3. Составление системы канонических уравнений.

δ₁₁·X₁ + δ₁₂·X₂ + Δ_P1 = 0;

δ₂₁·X₁ + δ₂₂·X₂ + Δ_P2 = 0.

(1)

где δ_ij = δ_ji = ∑∫M_iM_j/(EJ)dz - коэффициенты податливости,

Δ_Pi = ∑∫M_PM_i/(EJ)dz - грузовые перемещения,

M_P, M_i - эпюры изгибающих моментов грузовой и единичных систем соответственно,

X_i - усилия подлежащие определению.

4. Построение эпюр изгибающих моментов для единичных систем.

4.1. Единичная система №1.

4.1.1. Определение реакций опор для схемы на рис.3

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_x = 1 - X_C = 0;

∑F_y = Y_A - Y_B - Y_C + Y_D = 0;

∑M_C = -Y_A·3.5м + Y_B·1.5м + Y_D·2.5м = 0;

∑M_E = -Y_A·2м + 1·2.5м = 0;

∑M_F = -X_C·2.5м + Y_D·2.5м = 0.

(2)

Решение уравнений статики (2) даёт следующие значения реакций:

Y_A = 1.25;

Y_B = 1.25;

X_C = 1;

Y_C = 1;

Y_D = 1.


Рис. 3. Схема реакций.	Рис. 4. Эпюра Mx.

4.1.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.3

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 3.5м)

M_x = -1·z₁;

при z₁ = 0; M_x = 0.

при z₁ = 3.5м; M_x = -3.5.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 2м)

M_x = Y_A·z₂ - 1·3.5м;

при z₂ = 0; M_x = -3.5.

при z₂ = 2м; M_x = -1.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 1м)

M_x = Y_A·2м - 1·(3.5м - z₃);

при z₃ = 0; M_x = -1.

при z₃ = 1м; M_x = 0.

Участок №4 (0 ≤ z₄ ≤ 1.5м)

M_x = Y_A·(z₄ + 2м) - 1·2.5м - Y_B·z₄ = 0.

Участок №5 (0 ≤ z₅ ≤ 2.5м)

M_x = Y_D·z₅;

при z₅ = 0; M_x = 0.

при z₅ = 2.5м; M_x = 2.5.

Участок №6 (0 ≤ z₆ ≤ 1м)

M_x = -X_C·z₆;

при z₆ = 0; M_x = 0.

при z₆ = 1м; M_x = -1.

Участок №7 (0 ≤ z₇ ≤ 1.5м)

M_x = -X_C·(z₇ + 1м);

при z₇ = 0; M_x = -1.

при z₇ = 1.5м; M_x = -2.5.

4.2. Единичная система №2.

4.2.1. Определение реакций опор для схемы на рис.5

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_x = -1 + 1 + X_C = 0;

∑F_y = Y_A - Y_B - Y_C + Y_D = 0;

∑M_C = 1·1м - 1·1м - Y_A·3.5м + Y_B·1.5м + Y_D·2.5м = 0;

∑M_E = -Y_A·2м + 1·1.5м = 0;

∑M_F = Y_B·1.5м - Y_A·3.5м + 1·1.5м = 0.

(3)

Решение уравнений статики (3) даёт следующие значения реакций:

Y_A = 0.75;

Y_B = 0.75;

X_C = 0;

Y_C = 0.6;

Y_D = 0.6.


Рис. 5. Схема реакций.	Рис. 6. Эпюра Mx.

4.2.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.5

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 2м)

M_x = Y_A·z₁;

при z₁ = 0; M_x = 0.

при z₁ = 2м; M_x = 1.5.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 1м)

M_x = Y_A·2м = 1.5.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 1.5м)

M_x = 1·z₃;

при z₃ = 0; M_x = 0.

при z₃ = 1.5м; M_x = 1.5.

Участок №4 (0 ≤ z₄ ≤ 1.5м)

M_x = -Y_B·z₄ - 1·1.5м + Y_A·(z₄ + 2м) = 0.

Участок №5 (0 ≤ z₅ ≤ 2.5м)

M_x = Y_D·z₅;

при z₅ = 0; M_x = 0.

при z₅ = 2.5м; M_x = 1.5.

Участок №6 (0 ≤ z₆ ≤ 1.5м)

M_x = -1·z₆;

при z₆ = 0; M_x = 0.

при z₆ = 1.5м; M_x = -1.5.

5. Построение эпюр изгибающих моментов для грузовой системы.

5.1. Определение реакций опор для схемы на рис.7

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_x = F - X_C = 0;

∑F_y = -q·2.5м - Y_A + Y_B + Y_C + Y_D = 0;

∑M_C = -q·2.5м·1.25м - F·3.5м + M + Y_A·3.5м - Y_B·1.5м + Y_D·2.5м = 0;

∑M_E = Y_A·2м + M - F·1м = 0;

∑M_F = -X_C·2.5м + Y_D·2.5м - q·2.5м·1.25м = 0.

(4)

Решение уравнений статики (4) даёт следующие значения реакций:

Y_A = 1кН;

Y_B = 1кН;

X_C = 3кН;

Y_C = 0.75кН;

Y_D = 6.75кН.


Рис. 7. Схема реакций.	Рис. 8. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент).

5.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.7

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 2м)

M_x = -Y_A·z₁;

при z₁ = 0; M_x = 0.

при z₁ = 2м; M_x = -2кН·м.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 1м)

M_x = -M - Y_A·2м + F·z₂;

при z₂ = 0; M_x = -3кН·м.

при z₂ = 1м; M_x = 0.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 1.5м)

M_x = -Y_A·(z₃ + 2м) + F·1м - M + Y_B·z₃ = 0.

Участок №4 (0 ≤ z₄ ≤ 2.5м)

M_x = -q·z₄²/2 + Y_D·z₄;

при z₄ = 0; M_x = 0.

при z₄ = 2.25м; M_x = 7.5937кН·м.

при z₄ = 2.5м; M_x = 7.5кН·м.

Участок №5 (0 ≤ z₅ ≤ 1м)

M_x = -X_C·z₅;

при z₅ = 0; M_x = 0.

при z₅ = 1м; M_x = -3кН·м.

Участок №6 (0 ≤ z₆ ≤ 1.5м)

M_x = -X_C·(z₆ + 1м);

при z₆ = 0; M_x = -3кН·м.

при z₆ = 1.5м; M_x = -7.5кН·м.

6. Определение коэффициентов системы канонических уравнений.

δ₁₁ = [1/EJ]·({[3.5·(-3.5)/2]·(-2.3333)}_1,1 + {[2·(-3.5 - 1)/2]·(-2.4815)}_2,2 + {[1·(-1)/2]·(-0.66667)}_3,3 + {[2.5·2.5/2]·1.6667}_5,5 + {[1·(-1)/2]·(-0.66667)}_6,6 + {[1.5·(-2.5 - 1)/2]·(-1.8571)}_7,7) = (1/EJ)·(14.292 + 11.167 + 0.33333 + 5.2083 + 0.33333 + 4.875) = 36.208/EJ.

δ₁₂ = δ₂₁ = [1/EJ]·({[2·(-3.5 - 1)/2]·0.61111}_2,1 + {[1·(-1)/2]·1.5}_3,2 + {[2.5·2.5/2]·1}_5,5 + {[1.5·(-2.5 - 1)/2]·(-0.85714)}_7,6) = (1/EJ)·(-2.75 - 0.75 + 3.125 + 2.25) = 1.875/EJ.

δ₂₂ = [1/EJ]·({[2·1.5/2]·1}_1,1 + {[1·1.5]·1.5}_2,2 + {[1.5·1.5/2]·1}_3,3 + {[2.5·1.5/2]·1}_5,5 + {[1.5·(-1.5)/2]·(-1)}_6,6) = (1/EJ)·(1.5 + 2.25 + 1.125 + 1.875 + 1.125) = 7.875/EJ.

Δ_P1 = [1/EJ]·({[2·(-2·10³)/2]·(-1.8333)}_1,2 + {[1·(-3·10³)/2]·(-0.66667)}_2,3 + {[13281]·1.5441}_4,5 + {[1·(-3·10³)/2]·(-0.66667)}_5,6 + {[1.5·(-7500 - 3·10³)/2]·(-1.8571)}_6,7) = (1/EJ)·(3666.7 + 1·10³ + 20508 + 1·10³ + 14625) = 40799/EJ.

Δ_P2 = [1/EJ]·({[2·(-2·10³)/2]·1}_1,1 + {[1·(-3·10³)/2]·1.5}_2,2 + {[13281]·0.92647}_4,5 + {[1.5·(-7500 - 3·10³)/2]·(-0.85714)}_6,6) = (1/EJ)·(-2·10³ - 2250 + 12305 + 6750) = 14805/EJ.

Пояснения по расчёту коэффициентов находятся по ссылке

7. Решение системы канонических уравнений.

Система уравнений (1) с вычисленными коэффициентами запишется в следующем виде:

36.208·X₁ + 1.875·X₂ = -40799;

1.875·X₁ + 7.875·X₂ = -14805.

Решение системы канонических уравнений (1) даёт следующие значения неизвестных:

X₁ = 1.0423кН;

X₂ = 1.6318кН.

8. Построение эпюр внутренних силовых факторов для заданной системы.

8.1. Определение реакций опор для схемы на рис.9

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_x = F - X₁ + X₂ - X₂ - X_C = 0;

∑F_y = -q·2.5м - Y_A + Y_B + Y_C + Y_D = 0;

∑M_C = -q·2.5м·1.25м - F·3.5м + M - X₂·1м + X₂·1м + Y_A·3.5м - Y_B·1.5м + Y_D·2.5м = 0;

∑M_E = -X_C·2.5м + Y_C·1.5м + Y_D·4м + X₂·1.5м - q·2.5м·2.75м = 0;

∑M_F = -X_C·2.5м + Y_D·2.5м + X₂·1.5м - q·2.5м·1.25м = 0.

(5)

Решение уравнений статики (5) даёт следующие значения реакций:

Y_A = 3.5267кН;

Y_B = 3.5267кН;

X_C = 1.9577кН;

Y_C = 2.7714кН;

Y_D = 4.7286кН.

Рис. 9. Схема реакций.

Рис. 10. Эпюра Nz, кН (осевая сила).

Рис. 11. Эпюра Qy, кН (поперечная сила).

Рис. 12. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент).

8.2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.9

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 3.5м)

N_z = Y_A = 3.5267кН.

Q_y = X₁ = 1.0423кН.

M_x = X₁·z₁;

при z₁ = 0; M_x = 0.

при z₁ = 3.5м; M_x = 3.648кН·м.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 2м)

N_z = -F + X₁ = -1.9577кН.

Q_y = -Y_A = -3.5267кН.

M_x = -Y_A·z₂ + X₁·3.5м;

при z₂ = 0; M_x = 3.648кН·м.

при z₂ = 2м; M_x = -3.4054кН·м.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 1м)

N_z = -Y_A = -3.5267кН.

Q_y = -X₁ + F = 1.9577кН.

M_x = -M - Y_A·2м + X₁·(3.5м - z₃) + F·z₃;

при z₃ = 0; M_x = -4.4054кН·м.

при z₃ = 1м; M_x = -2.4477кН·м.

Участок №4 (0 ≤ z₄ ≤ 2.5м)

N_z = -Y_D = -4.7286кН.

Участок №5 (0 ≤ z₅ ≤ 2.5м)

Q_y = q·z₅ - Y_D;

при z₅ = 0; Q_y = -4.7286кН.

при z₅ = 2.5м; Q_y = 2.7714кН.

M_x = -q·z₅²/2 + Y_D·z₅;

при z₅ = 0; M_x = 0.

при z₅ = 1.5762м; M_x = 3.7267кН·м.

при z₅ = 2.5м; M_x = 2.4466кН·м.

Участок №6 (0 ≤ z₆ ≤ 1м)

N_z = -Y_C = -2.7714кН.

Q_y = X_C = 1.9577кН.

M_x = -X_C·z₆;

при z₆ = 0; M_x = 0.

при z₆ = 1м; M_x = -1.9577кН·м.

Участок №7 (0 ≤ z₇ ≤ 1.5м)

N_z = -Y_C = -2.7714кН.

Q_y = -X₂ + X_C = 0.32591кН.

M_x = X₂·z₇ - X_C·(z₇ + 1м);

при z₇ = 0; M_x = -1.9577кН·м.

при z₇ = 1.5м; M_x = -2.4466кН·м.

Участок №8 (0 ≤ z₈ ≤ 1.5м)

N_z = -X_C + X₂ = -0.32591кН.

M_x = -X_C·2.5м + Y_C·z₈ + X₂·1.5м + Y_D·(z₈ + 2.5м) - q·2.5м·(z₈ + 1.25м) = 0.

Q_y = -Y_C - Y_D + q·2.5м = 0.

Участок №9 (0 ≤ z₉ ≤ 1м)

N_z = -Y_B = -3.5267кН.

Участок №10 (0 ≤ z₁₀ ≤ 1.5м)

N_z = -Y_B = -3.5267кН.

Q_y = X₂ = 1.6318кН.

M_x = -X₂·z₁₀;

при z₁₀ = 0; M_x = 0.

при z₁₀ = 1.5м; M_x = -2.4477кН·м.

9. Деформационная проверка.

9.1. Определение реакций опор для схемы на рис.13

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_x = 1 - X_A = 0;

∑F_y = -Y_A + Y_B + Y_C - Y_D = 0;

∑M_A = Y_B·2м + Y_C·3.5м - Y_D·6м = 0;

∑M_E = -X_A·2.5м + Y_A·2м = 0;

∑M_F = -Y_D·2.5м + 1·2.5м = 0.

(6)

Решение уравнений статики (6) даёт следующие значения реакций:

X_A = 1;

Y_A = 1.25;

Y_B = 1.25;

Y_C = 1;

Y_D = 1.


Рис. 13. Схема реакций.	Рис. 14. Эпюра Mx.

9.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.13

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 3.5м)

M_x = X_A·z₁;

при z₁ = 0; M_x = 0.

при z₁ = 3.5м; M_x = 3.5.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 2м)

M_x = X_A·3.5м - Y_A·z₂;

при z₂ = 0; M_x = 3.5.

при z₂ = 2м; M_x = 1.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 1м)

M_x = X_A·(3.5м - z₃) - Y_A·2м;

при z₃ = 0; M_x = 1.

при z₃ = 1м; M_x = 0.

Участок №4 (0 ≤ z₄ ≤ 1.5м)

M_x = X_A·2.5м - Y_A·(z₄ + 2м) + Y_B·z₄ = 0.

Участок №5 (0 ≤ z₅ ≤ 2.5м)

M_x = -Y_D·z₅;

при z₅ = 0; M_x = 0.

при z₅ = 2.5м; M_x = -2.5.

Участок №6 (0 ≤ z₆ ≤ 1м)

M_x = 1·z₆;

при z₆ = 0; M_x = 0.

при z₆ = 1м; M_x = 1.

Участок №7 (0 ≤ z₇ ≤ 1.5м)

M_x = 1·(z₇ + 1м);

при z₇ = 0; M_x = 1.

при z₇ = 1.5м; M_x = 2.5.

9.3. Проверка

Δ = [1/EJ]·({[3.5·3648/2]·2.3333}_1,1 + {[2·(3648 - 3405.4)/2]·14.362}_2,2 + {[1·(-4405.4 - 2447.7)/2]·0.54761}_3,3 + {[6964.5]·(-1.433)}_5,5 + {[1·(-1957.7)/2]·0.66667}_6,6 + {[1.5·(-2446.6 - 1957.7)/2]·1.7777}_7,7) = (1/EJ)·(14896 + 3484.9 - 1876.4 - 9979.8 - 652.57 - 5872.3) = 0.

Результат равен нолю, значит задача по раскрытию статической неопределимости решена верно.

n = 3 [•]

ОТЧЁТ

Исходные данные

F = 3кН;

q = 2кН/м;

M = 1кН·м.

Рис. 1. Заданная схема.

Расчёт

1. Определение степени статической неопределимости

Степень статической неопределимости равна

n = 3.

2. Выбор основной системы.

Для решения задачи выбрана основная система, представленная на рис. 2

Рис. 2. Основная схема.

3. Составление системы канонических уравнений.

δ₁₁·X₁ + δ₁₂·X₂ + δ₁₃·X₃ + Δ_P1 = 0;

δ₂₁·X₁ + δ₂₂·X₂ + δ₂₃·X₃ + Δ_P2 = 0;

δ₃₁·X₁ + δ₃₂·X₂ + δ₃₃·X₃ + Δ_P3 = 0.

(1)

где δ_ij = δ_ji = ∑∫M_iM_j/(EJ)dz - коэффициенты податливости,

Δ_Pi = ∑∫M_PM_i/(EJ)dz - грузовые перемещения,

M_P, M_i - эпюры изгибающих моментов грузовой и единичных систем соответственно,

X_i - усилия подлежащие определению.

4. Построение эпюр изгибающих моментов для единичных систем.

4.1. Единичная система №1.

4.1.1. Определение реакций опор для схемы на рис.3

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_y = Y_A + Y_B - Y_C = 0;

∑M_A = 1 - Y_B·3м - Y_C·3м = 0;

∑M_D = -Y_B·3м = 0.

(2)

Решение уравнений статики (2) даёт следующие значения реакций:

Y_A = 0.33333;

Y_B = 0;

Y_C = 0.33333.


Рис. 3. Схема реакций	Рис. 4. Эпюра Mx

4.1.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.3

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 3м)

M_x = -Y_C·z₁;

при z₁ = 0; M_x = 0.

при z₁ = 3м; M_x = -1.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 2м)

M_x = -Y_C·3м = -1.

4.2. Единичная система №2.

4.2.1. Определение реакций опор для схемы на рис.5

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_x = 1 - 1 + X_A = 0;

∑F_y = Y_A - Y_B - Y_C = 0;

∑M_A = -1·4м + 1·4м + Y_B·3м - Y_C·3м = 0;

∑M_D = Y_B·3м - 1·2м = 0.

(3)

Решение уравнений статики (3) даёт следующие значения реакций:

X_A = 0;

Y_A = 1.3333;

Y_B = 0.66667;

Y_C = 0.66667.


Рис. 5. Схема реакций	Рис. 6. Эпюра Mx

4.2.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.5

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 2м)

M_x = 1·z₁;

при z₁ = 0; M_x = 0.

при z₁ = 2м; M_x = 2.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 3м)

M_x = 1·2м - Y_B·z₂;

при z₂ = 0; M_x = 2.

при z₂ = 3м; M_x = 0.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 2м)

M_x = 1·z₃;

при z₃ = 0; M_x = 0.

при z₃ = 2м; M_x = 2.

Участок №4 (0 ≤ z₄ ≤ 3м)

M_x = 1·2м - Y_C·z₄;

при z₄ = 0; M_x = 2.

при z₄ = 3м; M_x = 0.

4.3. Единичная система №3.

4.3.1. Определение реакций опор для схемы на рис.7

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_y = 1 - 1 + Y_A - Y_B - Y_C = 0;

∑M_A = -1·0.5м + 1·0.5м + Y_B·3м - Y_C·3м = 0;

∑M_D = Y_B·3м - 1·0.5м = 0.

(4)

Решение уравнений статики (4) даёт следующие значения реакций:

Y_A = 0.33333;

Y_B = 0.16667;

Y_C = 0.16667.


Рис. 7. Схема реакций	Рис. 8. Эпюра Mx

4.3.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.7

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 2.5м)

M_x = -1·z₁;

при z₁ = 0; M_x = 0.

при z₁ = 2.5м; M_x = -2.5.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 2м)

M_x = -1·2.5м = -2.5.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 3м)

M_x = -1·(2.5м - z₃) - Y_B·z₃;

при z₃ = 0; M_x = -2.5.

при z₃ = 3м; M_x = 0.

Участок №4 (0 ≤ z₄ ≤ 3.5м)

M_x = 1·z₄;

при z₄ = 0; M_x = 0.

при z₄ = 3.5м; M_x = 3.5.

Участок №5 (0 ≤ z₅ ≤ 2м)

M_x = 1·3.5м = 3.5.

Участок №6 (0 ≤ z₆ ≤ 3м)

M_x = 1·(3.5м - z₆) - Y_C·z₆;

при z₆ = 0; M_x = 3.5.

при z₆ = 3м; M_x = 0.

5. Построение эпюр изгибающих моментов для грузовой системы.

5.1. Определение реакций опор для схемы на рис.9

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_x = F - X_A = 0;

∑F_y = -q·3м - Y_A + Y_B + Y_C = 0;

∑M_A = -F·5м - q·3м·1.5м + M - Y_B·3м + Y_C·3м = 0;

∑M_D = -Y_B·3м + M = 0.

(5)

Решение уравнений статики (5) даёт следующие значения реакций:

X_A = 3кН;

Y_A = 2.3333кН;

Y_B = 0.33333кН;

Y_C = 8кН.


Рис. 9. Схема реакций	Рис. 10. Эпюра Mx, кН·м (изгибающий момент)

5.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.9

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 2м)

M_x = -M = -1кН·м.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 3м)

M_x = -M + Y_B·z₂;

при z₂ = 0; M_x = -1кН·м.

при z₂ = 3м; M_x = 0.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 1м)

M_x = -F·z₃;

при z₃ = 0; M_x = 0.

при z₃ = 1м; M_x = -3кН·м.

Участок №4 (0 ≤ z₄ ≤ 2м)

M_x = -F·(z₄ + 1м);

при z₄ = 0; M_x = -3кН·м.

при z₄ = 2м; M_x = -9кН·м.

Участок №5 (0 ≤ z₅ ≤ 3м)

M_x = -q·z₅²/2 - F·3м + Y_C·z₅;

при z₅ = 0; M_x = -9кН·м.

при z₅ = 3м; M_x = 6кН·м.

Участок №6 (0 ≤ z₆ ≤ 2м)

M_x = -X_A·z₆;

при z₆ = 0; M_x = 0.

при z₆ = 2м; M_x = -6кН·м.

6. Определение коэффициентов системы канонических уравнений.

δ₁₁ = [1/EJ]·({[3·(-1)/2]·(-0.66667)}_1,1 + {[2·(-1)]·(-1)}_2,2) = (1/EJ)·(1 + 2) = 3/EJ.

δ₁₂ = δ₂₁ = [1/EJ]·({[3·(-1)/2]·0.66667}_1,4) = (1/EJ)·(-1) = -1/EJ.

δ₁₃ = δ₃₁ = [1/EJ]·({[3·(-1)/2]·1.1667}_1,6) = (1/EJ)·(-1.75) = -1.75/EJ.

δ₂₂ = [1/EJ]·({[2·2/2]·1.3333}_1,1 + {[3·2/2]·1.3333}_2,2 + {[2·2/2]·1.3333}_3,3 + {[3·2/2]·1.3333}_4,4) = (1/EJ)·(2.6667 + 4 + 2.6667 + 4) = 13.333/EJ.

δ₂₃ = δ₃₂ = [1/EJ]·({[2·2/2]·(-2.5)}_1,2 + {[3·2/2]·(-1.6667)}_2,3 + {[2·2/2]·3.5}_3,5 + {[3·2/2]·2.3333}_4,6) = (1/EJ)·(-5 - 5 + 7 + 7) = 4/EJ.

δ₃₃ = [1/EJ]·({[2.5·(-2.5)/2]·(-1.6667)}_1,1 + {[2·(-2.5)]·(-2.5)}_2,2 + {[3·(-2.5)/2]·(-1.6667)}_3,3 + {[3.5·3.5/2]·2.3333}_4,4 + {[2·3.5]·3.5}_5,5 + {[3·3.5/2]·2.3333}_6,6) = (1/EJ)·(5.2083 + 12.5 + 6.25 + 14.292 + 24.5 + 12.25) = 75/EJ.

Δ_P1 = [1/EJ]·({(-3750)}_5,1 + {[2·(-6·10³)/2]·1}_6,2) = (1/EJ)·(-3750 - 6·10³) = -9750/EJ.

Δ_P2 = [1/EJ]·({[2·(-1·10³)]·1}_1,1 + {[3·(-1·10³)/2]·1.3333}_2,2 + {[2·(-9·10³ - 3·10³)/2]·1.1667}_4,3 + {(-7500)}_5,4) = (1/EJ)·(-2·10³ - 2·10³ - 1.4·10⁴ - 7500) = -25500/EJ.

Δ_P3 = [1/EJ]·({[2·(-1·10³)]·(-2.5)}_1,2 + {[3·(-1·10³)/2]·(-1.6667)}_2,3 + {[2·(-9·10³ - 3·10³)/2]·3.5}_4,5 + {(-13125)}_5,6) = (1/EJ)·(5·10³ + 2500 - 4.2·10⁴ - 13125) = -47625/EJ.

Пояснения по расчёту коэффициентов находятся по ссылке

7. Решение системы канонических уравнений.

Система уравнений (1) с вычисленными коэффициентами запишется в следующем виде:

3·X₁ - 1·X₂ - 1.75·X₃ = 9750;

-1·X₁ + 13.333·X₂ + 4·X₃ = 25500;

-1.75·X₁ + 4·X₂ + 75·X₃ = 47625.

Решение системы канонических уравнений (1) даёт следующие значения неизвестных:

X₁ = 4.2976кН·м;

X₂ = 2.047кН;

X₃ = 0.6261кН.

8. Построение эпюр внутренних силовых факторов для заданной системы.

8.1. Определение реакций опор для схемы на рис.11

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_x = F + X₂ - X₂ - X_A = 0;

∑F_y = -q·3м + X₃ - X₃ + Y_A - Y_B + Y_C = 0;

∑M_A = -F·5м - q·3м·1.5м + M + X₁ - X₂·4м + X₂·4м - X₃·0.5м + X₃·0.5м + Y_B·3м + Y_C·3м = 0;

∑M_D = Y_B·3м + M - X₂·2м - X₃·0.5м = 0.

(6)

Решение уравнений статики (6) даёт следующие значения реакций:

X_A = 3кН;

Y_A = 2.0372кН;

Y_B = 1.1357кН;

Y_C = 5.0985кН.

Рис. 11. Схема реакций

Рис. 12. Эпюра Nz, кН (осевая сила)

Рис. 13. Эпюра Qy, кН (поперечная сила)

Рис. 14. Эпюра Mx, кН·м (изгибающий момент)

8.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.11

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 2м)

N_z = Y_B = 1.1357кН.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 2.5м)

N_z = X₂ = 2.047кН.

Q_y = -X₃ = -0.6261кН.

M_x = X₃·z₂;

при z₂ = 0; M_x = 0.

при z₂ = 2.5м; M_x = 1.5653кН·м.

Участок №3 (0 ≤ z₃ ≤ 2м)

N_z = X₃ = 0.6261кН.

Q_y = X₂ = 2.047кН.

M_x = M - X₂·z₃ + X₃·2.5м;

при z₃ = 0; M_x = 2.5653кН·м.

при z₃ = 2м; M_x = -1.5287кН·м.

Участок №4 (0 ≤ z₄ ≤ 3м)

N_z = -X₂ = -2.047кН.

Q_y = -Y_B + X₃ = -0.50957кН.

M_x = -Y_B·z₄ + X₂·2м - X₃·(2.5м - z₄) - M;

при z₄ = 0; M_x = 1.5287кН·м.

при z₄ = 3м; M_x = 0.

Участок №5 (0 ≤ z₅ ≤ 3.5м)

N_z = X₂ = 2.047кН.

Q_y = -X₃ = -0.6261кН.

M_x = X₃·z₅;

при z₅ = 0; M_x = 0.

при z₅ = 3.5м; M_x = 2.1914кН·м.

Участок №6 (0 ≤ z₆ ≤ 1м)

Q_y = F = 3кН.

M_x = -F·z₆;

при z₆ = 0; M_x = 0.

при z₆ = 1м; M_x = -3кН·м.

Участок №7 (0 ≤ z₇ ≤ 2м)

N_z = -X₃ = -0.6261кН.

Q_y = -X₂ + F = 0.95301кН.

M_x = X₂·z₇ + X₃·3.5м - F·(z₇ + 1м);

при z₇ = 0; M_x = -0.80864кН·м.

при z₇ = 2м; M_x = -2.7147кН·м.

Участок №8 (0 ≤ z₈ ≤ 2м)

N_z = -Y_C = -5.0985кН.

Участок №9 (0 ≤ z₉ ≤ 3м)

N_z = -X₂ + F = 0.95301кН.

Q_y = q·z₉ + X₃ - Y_C;

при z₉ = 0; Q_y = -4.4724кН.

при z₉ = 3м; Q_y = 1.5276кН.

M_x = -q·z₉²/2 + X₂·2м + X₃·(3.5м - z₉) - F·3м + Y_C·z₉;

при z₉ = 0; M_x = -2.7147кН·м.

при z₉ = 2.2362м; M_x = 2.2859кН·м.

при z₉ = 3м; M_x = 1.7024кН·м.

Участок №10 (0 ≤ z₁₀ ≤ 2м)

N_z = -Y_A = -2.0372кН.

Q_y = X_A = 3кН.

M_x = X₁ - X_A·z₁₀;

при z₁₀ = 0; M_x = 4.2976кН·м.

при z₁₀ = 2м; M_x = -1.7024кН·м.

9. Деформационная проверка.

9.1. Определение реакций опор для схемы на рис.15

Составим уравнения статического равновесия.

∑F_y = 1 - Y_A + Y_B = 0;

∑M_A = 1·3м - M_A - Y_B·3м = 0;

∑M_C = -Y_B·3м = 0.

(7)

Решение уравнений статики (7) даёт следующие значения реакций:

Y_A = 1;

M_A = 3;

Y_B = 0.


Рис. 15. Схема реакций	Рис. 16. Эпюра Mx

9.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.15

Участок №1 (0 ≤ z₁ ≤ 3м)

M_x = 1·z₁;

при z₁ = 0; M_x = 0.

при z₁ = 3м; M_x = 3.

Участок №2 (0 ≤ z₂ ≤ 2м)

M_x = 1·3м = 3.

9.3. Проверка

Выполним перемножение эпюр изгибающих моментов для заданной системы (рис.14) и единичной системы деформационной проверки (рис.16):

Δ = [1/EJ]·({[2981.7]·2.6111}_9,1 + {[2·(-1702.4 + 4297.6)/2]·(-3)}_10,2) = (1/EJ)·(7785.3 - 7785.3) = 0.

Результат равен нолю, значит задача по раскрытию статической неопределимости решена верно.