Примеры. Расчёт геометрических характеристик сечения из простых фигур

Примеры

Ниже приведены примеры расчётов в том виде, в котором их рассчитывает и предоставляет данный сервис. Для просмотра интересующего примера кликните на соответствующую иллюстрацию расчётной модели.
Внимание! В примерах PDF эскизов рамки и штампы представлены для демонстрации назначения полей (диалог "Параметры листа"). Данный сервис обеспечивает только место для размещения рамки или штампа. Обеспечение эскиза рамкой или штампом лежит на пользователе. Подробно о формировании PDF эскиза в ДЕМО-ВИДЕО

Примечания.
1. Поля PDF эскиза сформированы под штамп 15мм.
2. PDF эскиз сформирован без эллипса инерции. Для иллюстрации отчёта эллипс сохранён.

PDF эскиз сечения в масштабе (A4) - скачать | открыть

ОТЧЁТ

Исходные данные

Профиль №1

Прямоуг. тр-к 60x60

A₁ = 18см²

J_x₁ = 36см⁴

J_y₁ = 36см⁴

J_x₁y₁ = 18см⁴

Профиль №2

Прямоуг-к 30x60

A₂ = 18см²

J_x₂ = 54см⁴

J_y₂ = 13.5см⁴

Профиль №3

Четверть круга R30

A₃ = -7.07см²

J_x₃ = J_x(90°) = -4.45см⁴

J_y₃ = J_y(90°) = -4.45см⁴

J_x₃y₃ = J_xy(90°) = -1.33см⁴

Расчёт

1. Определение площади всего сечения

A = ∑A_i = 18 + 18 - 7.07 = 28.93см²,

где, A_i - площадь i-го профиля.

2. Определение положения центра тяжести сечения

x_C = ∑(A_i · x_i)/A = (18 · 4 + 18 · 7.5 + (-7.07) · 7.73) / 28.93 = 5.27см,

y_C = ∑(A_i · y_i)/A = (18 · 2 + 18 · 3 + (-7.07) · 1.27) / 28.93 = 2.8см,

где, x_i, y_i - координаты центра тяжести i-го профиля в системе координат XY.

Рис. 1. Эскиз сечения

3. Определение моментов инерции всего сечения относительно центральной системы координат X_CY_C.

J_{X_C} = ∑J⁽ⁱ⁾_{X_C},

J_{Y_C} = ∑J⁽ⁱ⁾_{Y_C},

J_{X_CY_C} = ∑J⁽ⁱ⁾_{X_C}_{Y_C},

где, J_{X_C}, J_{Y_C}, J_{X _CY_C} - осевые моменты и центробежный момент инерции сечения соответственно, J⁽ⁱ⁾_{X_C}, J⁽ⁱ⁾_{Y_C}, J⁽ⁱ⁾_{X_C}_{Y_C} - осевые моменты и центробежный момент инерции i-го профиля, которые определяются по следующим формулам:

J⁽ⁱ⁾_{X_C} = J_{x_i} + a_i²·A_i,

J⁽ⁱ⁾_{Y_C} = J_{y_i} + b_i²·A_i,

J⁽ⁱ⁾_{X_C}_{Y_C} = J_{x_iy_i} + a_i·b_i·A_i,

где, a_i = y_i - y_C, b_i = x_i - x_C - смещения центра тяжести i-го профиля по осям Y_C и X_C соответственно.

Определим смещения центра тяжести каждого профиля.

Для профиля №1 "Прямоуг. тр-к 60x60":

a₁ = 2 - 2.8 = -0.8см,

b₁ = 4 - 5.27 = -1.27см.

Для профиля №2 "Прямоуг-к 30x60":

a₂ = 3 - 2.8 = 0.2см,

b₂ = 7.5 - 5.27 = 2.23см.

Для профиля №3 "Четверть круга R30":

a₃ = 1.27 - 2.8 = -1.53см,

b₃ = 7.73 - 5.27 = 2.46см.

Далее определим осевые моменты и центробежный момент инерции каждого профиля.

Для профиля №1 "Прямоуг. тр-к 60x60":

J⁽¹⁾_{X_C} = 36 + (-0.8)²· 18 = 47.51см⁴,

J⁽¹⁾_{Y_C} = 36 + (-1.27)²· 18 = 64.9см⁴,

J⁽¹⁾_{X_C}_{Y_C} = 0 + (-0.8) · (-1.27) · 18 = 36.24см⁴.

Для профиля №2 "Прямоуг-к 30x60":

J⁽²⁾_{X_C} = 54 + 0.2²· 18 = 54.72см⁴,

J⁽²⁾_{Y_C} = 13.5 + 2.23²· 18 = 103.25см⁴,

J⁽²⁾_{X_C}_{Y_C} = 0 + 0.2 · 2.23 · 18 = 8.05см⁴.

Для профиля №3 "Четверть круга R30":

J⁽³⁾_{X_C} = -4.45 + (-1.53)²· (-7.07) = -20.92см⁴,

J⁽³⁾_{Y_C} = -4.45 + 2.46²· (-7.07) = -47.21см⁴,

J⁽³⁾_{X_C}_{Y_C} = 0 + (-1.53) · 2.46 · (-7.07) = 25.21см⁴.

Моменты инерции всего сечения относительно центральной системы координат X_CY_C будут равны:

J_{X_C} = 47.51 + 54.72 - 20.92 = 81.32 см⁴,

J_{Y_C} = 64.9 + 103.25 - 47.21 = 120.94 см⁴,

J_{X_CY_C} = 36.24 + 8.05 + 25.21 = 69.5см⁴.

4. Определение угла поворота главной центральной системы координат UV.

Тангенс угла поворота системы координат UV относительно системы координат X_CY_C определится по следующей формуле

tg(2α) = -2J_{X_CY_C} / (J_{X_C} - J_{Y_C}) = -2·69.5 / (81.32 - 120.94) = 3.5083.

Откуда угол поворота будет равен

α = 37.05°.

Так как угол положителен, поворот системы координат UV выполняется против часовой стрелки.

5. Определение главных центральных моментов сечения

J_max,min = (J_{X_C} + J_{Y_C}) / 2± ½·[(J_{X_C} - J_{Y_C})² + 4·J_{X_CY_C}²]^½ = (81.32 + 120.94) / 2 ± ½·[(81.32 - 120.94)² + 4·69.5²]^½ = 101.13 ± 72.26.

Следовательно,

J_min = J_U = 28.86см⁴; J_max = J_V = 173.39см⁴.

6. Определение главных центральных моментов сопротивления сечения

Из определения моментов сопротивления сечения

W_U = J_U / |V_max|; W_V = J_V / |U_max|.

Из эскиза сечения найдем

|U_max| = 5.89см; |V_max| = 2.68см.

Главные центральные моменты сопротивления сечения будут равны

W_U = 28.86 / 2.68 = 10.79см³; W_V = 173.39 / 5.89 = 29.43см³.

7. Определение главных радиусов инерции

i_U = i_min = (J_U / A)^½ = (28.86 / 28.93)^½ = 1см; i_V = i_max = (J_V / A)^½ = (173.39 / 28.93)^½ = 2.45см.

Задача решена.

PDF эскиз сечения в масштабе (A4) - скачать | открыть

Примечания. Поля PDF эскиза сформированы под штамп 40мм.

PDF эскиз сечения в масштабе (A4) - скачать | открыть

ОТЧЁТ

Исходные данные

Профиль №1

Полукруг R30

A₁ = 14.14см²

J_x₁ = J_x(-90°) = 31.81см⁴

J_y₁ = J_y(-90°) = 8.89см⁴

Профиль №2

Прямоуг. тр-к 60x50

A₂ = 15см²

J_x₂ = J_x(90°) = 30см⁴

J_y₂ = J_y(90°) = 20.83см⁴

J_x₂y₂ = J_xy(90°) = 12.5см⁴

Профиль №3

Равнобедр. тр-к 40x20

A₃ = -4см²

J_x₃ = J_x(-90°) = -2.67см⁴

J_y₃ = J_y(-90°) = -0.89см⁴

Расчёт

1. Определение площади всего сечения

A = ∑A_i = 14.14 + 15 - 4 = 25.14см²,

где, A_i - площадь i-го профиля.

2. Определение положения центра тяжести сечения

x_C = ∑(A_i · x_i)/A = (14.14 · 6.27 + 15 · 3.33 + (-4) · 5.67) / 25.14 = 4.62см,

y_C = ∑(A_i · y_i)/A = (14.14 · 3 + 15 · 2 + (-4) · 3) / 25.14 = 2.4см,

где, x_i, y_i - координаты центра тяжести i-го профиля в системе координат XY.

Рис. 1. Эскиз сечения

3. Определение моментов инерции всего сечения относительно центральной системы координат X_CY_C.

J_{X_C} = ∑J⁽ⁱ⁾_{X_C},

J_{Y_C} = ∑J⁽ⁱ⁾_{Y_C},

J_{X_CY_C} = ∑J⁽ⁱ⁾_{X_C}_{Y_C},

J⁽ⁱ⁾_{X_C} = J_{x_i} + a_i²·A_i,

J⁽ⁱ⁾_{Y_C} = J_{y_i} + b_i²·A_i,

J⁽ⁱ⁾_{X_C}_{Y_C} = J_{x_iy_i} + a_i·b_i·A_i,

где, a_i = y_i - y_C, b_i = x_i - x_C - смещения центра тяжести i-го профиля по осям Y_C и X_C соответственно.

Определим смещения центра тяжести каждого профиля.

Для профиля №1 "Полукруг R30":

a₁ = 3 - 2.4 = 0.6см,

b₁ = 6.27 - 4.62 = 1.66см.

Для профиля №2 "Прямоуг. тр-к 60x50":

a₂ = 2 - 2.4 = -0.4см,

b₂ = 3.33 - 4.62 = -1.28см.

Для профиля №3 "Равнобедр. тр-к 40x20":

a₃ = 3 - 2.4 = 0.6см,

b₃ = 5.67 - 4.62 = 1.05см.

Далее определим осевые моменты и центробежный момент инерции каждого профиля.

Для профиля №1 "Полукруг R30":

J⁽¹⁾_{X_C} = 31.81 + 0.6²· 14.14 = 36.84см⁴,

J⁽¹⁾_{Y_C} = 8.89 + 1.66²· 14.14 = 47.74см⁴,

J⁽¹⁾_{X_C}_{Y_C} = 0 + 0.6 · 1.66 · 14.14 = 13.99см⁴.

Для профиля №2 "Прямоуг. тр-к 60x50":

J⁽²⁾_{X_C} = 30 + (-0.4)²· 15 = 32.44см⁴,

J⁽²⁾_{Y_C} = 20.83 + (-1.28)²· 15 = 45.49см⁴,

J⁽²⁾_{X_C}_{Y_C} = 0 + (-0.4) · (-1.28) · 15 = 20.26см⁴.

Для профиля №3 "Равнобедр. тр-к 40x20":

J⁽³⁾_{X_C} = -2.67 + 0.6²· (-4) = -4.09см⁴,

J⁽³⁾_{Y_C} = -0.89 + 1.05²· (-4) = -5.31см⁴,

J⁽³⁾_{X_C}_{Y_C} = 0 + 0.6 · 1.05 · (-4) = -2.51см⁴.

Моменты инерции всего сечения относительно центральной системы координат X_CY_C будут равны:

J_{X_C} = 36.84 + 32.44 - 4.09 = 65.19 см⁴,

J_{Y_C} = 47.74 + 45.49 - 5.31 = 87.92 см⁴,

J_{X_CY_C} = 13.99 + 20.26 - 2.51 = 31.73см⁴.

4. Определение угла поворота главной центральной системы координат UV.

tg(2α) = -2J_{X_CY_C} / (J_{X_C} - J_{Y_C}) = -2·31.73 / (65.19 - 87.92) = 2.7916.

Откуда угол поворота будет равен

α = 35.15°.

Так как угол положителен, поворот системы координат UV выполняется против часовой стрелки.

5. Определение главных центральных моментов сечения

J_max,min = (J_{X_C} + J_{Y_C}) / 2± ½·[(J_{X_C} - J_{Y_C})² + 4·J_{X_CY_C}²]^½ = (65.19 + 87.92) / 2 ± ½·[(65.19 - 87.92)² + 4·31.73²]^½ = 76.56 ± 33.71.

Следовательно,

J_min = J_U = 42.85см⁴; J_max = J_V = 110.26см⁴.

6. Определение главных центральных моментов сопротивления сечения

Из определения моментов сопротивления сечения

W_U = J_U / |V_max|; W_V = J_V / |U_max|.

Из эскиза сечения найдем

|U_max| = 5.16см; |V_max| = 2.73см.

Главные центральные моменты сопротивления сечения будут равны

W_U = 42.85 / 2.73 = 15.68см³; W_V = 110.26 / 5.16 = 21.38см³.

7. Определение главных радиусов инерции

i_U = i_min = (J_U / A)^½ = (42.85 / 25.14)^½ = 1.31см; i_V = i_max = (J_V / A)^½ = (110.26 / 25.14)^½ = 2.09см.

Задача решена.

PDF эскиз сечения в масштабе (A4) - скачать | открыть

Примечание. Названия осей координат были поменяны с X и Y на Y и Z.

PDF эскиз сечения в масштабе (A4) - скачать | открыть

ОТЧЁТ

Исходные данные

Профиль №1

Прямоуг. тр-к 30x60

A₁ = 9см²

J_y₁ = J_y(90°) = 4.5см⁴

J_z₁ = J_z(90°) = 18см⁴

J_y₁z₁ = J_yz(90°) = 4.5см⁴

Профиль №2

Прямоуг-к 60x30

A₂ = 18см²

J_y₂ = J_y(90°) = 54см⁴

J_z₂ = J_z(90°) = 13.5см⁴

Профиль №3

Полукруг R20

A₃ = 6.28см²

J_y₃ = J_y(-90°) = 6.28см⁴

J_z₃ = J_z(-90°) = 1.76см⁴

Профиль №4

Круг R15

A₄ = -7.07см²

J_y₄ = -3.98см⁴

J_z₄ = -3.98см⁴

Расчёт

1. Определение площади всего сечения

A = ∑A_i = 9 + 18 + 6.28 - 7.07 = 26.21см²,

где, A_i - площадь i-го профиля.

2. Определение положения центра тяжести сечения

y_C = ∑(A_i · y_i)/A = (9 · 4 + 18 · 7.5 + 6.28 · 9.85 + (-7.07) · 9) / 26.21 = 6.46см,

z_C = ∑(A_i · z_i)/A = (9 · 1 + 18 · 3 + 6.28 · 4 + (-7.07) · 4) / 26.21 = 2.28см,

где, y_i, z_i - координаты центра тяжести i-го профиля в системе координат YZ.

Рис. 1. Эскиз сечения

3. Определение моментов инерции всего сечения относительно центральной системы координат Y_CZ_C.

J_{Y_C} = ∑J⁽ⁱ⁾_{Y_C},

J_{Z_C} = ∑J⁽ⁱ⁾_{Z_C},

J_{Y_CZ_C} = ∑J⁽ⁱ⁾_{Y_C}_{Z_C},

где, J_{Y_C}, J_{Z_C}, J_{Y _CZ_C} - осевые моменты и центробежный момент инерции сечения соответственно, J⁽ⁱ⁾_{Y_C}, J⁽ⁱ⁾_{Z_C}, J⁽ⁱ⁾_{Y_C}_{Z_C} - осевые моменты и центробежный момент инерции i-го профиля, которые определяются по следующим формулам:

J⁽ⁱ⁾_{Y_C} = J_{y_i} + a_i²·A_i,

J⁽ⁱ⁾_{Z_C} = J_{z_i} + b_i²·A_i,

J⁽ⁱ⁾_{Y_C}_{Z_C} = J_{y_iz_i} + a_i·b_i·A_i,

где, a_i = z_i - z_C, b_i = y_i - y_C - смещения центра тяжести i-го профиля по осям Z_C и Y_C соответственно.

Определим смещения центра тяжести каждого профиля.

Для профиля №1 "Прямоуг. тр-к 30x60":

a₁ = 1 - 2.28 = -1.28см,

b₁ = 4 - 6.46 = -2.46см.

Для профиля №2 "Прямоуг-к 60x30":

a₂ = 3 - 2.28 = 0.72см,

b₂ = 7.5 - 6.46 = 1.04см.

Для профиля №3 "Полукруг R20":

a₃ = 4 - 2.28 = 1.72см,

b₃ = 9.85 - 6.46 = 3.39см.

Для профиля №4 "Круг R15":

a₄ = 4 - 2.28 = 1.72см,

b₄ = 9 - 6.46 = 2.54см.

Далее определим осевые моменты и центробежный момент инерции каждого профиля.

Для профиля №1 "Прямоуг. тр-к 30x60":

J⁽¹⁾_{Y_C} = 4.5 + (-1.28)²· 9 = 19.32см⁴,

J⁽¹⁾_{Z_C} = 18 + (-2.46)²· 9 = 72.33см⁴,

J⁽¹⁾_{Y_C}_{Z_C} = 0 + (-1.28) · (-2.46) · 9 = 32.88см⁴.

Для профиля №2 "Прямоуг-к 60x30":

J⁽²⁾_{Y_C} = 54 + 0.72²· 18 = 63.24см⁴,

J⁽²⁾_{Z_C} = 13.5 + 1.04²· 18 = 33.09см⁴,

J⁽²⁾_{Y_C}_{Z_C} = 0 + 0.72 · 1.04 · 18 = 13.45см⁴.

Для профиля №3 "Полукруг R20":

J⁽³⁾_{Y_C} = 6.28 + 1.72²· 6.28 = 24.8см⁴,

J⁽³⁾_{Z_C} = 1.76 + 3.39²· 6.28 = 74.05см⁴,

J⁽³⁾_{Y_C}_{Z_C} = 0 + 1.72 · 3.39 · 6.28 = 36.58см⁴.

Для профиля №4 "Круг R15":

J⁽⁴⁾_{Y_C} = -3.98 + 1.72²· (-7.07) = -24.81см⁴,

J⁽⁴⁾_{Z_C} = -3.98 + 2.54²· (-7.07) = -49.69см⁴,

J⁽⁴⁾_{Y_C}_{Z_C} = 0 + 1.72 · 2.54 · (-7.07) = -30.86см⁴.

Моменты инерции всего сечения относительно центральной системы координат Y_CZ_C будут равны:

J_{Y_C} = 19.32 + 63.24 + 24.8 - 24.81 = 82.56 см⁴,

J_{Z_C} = 72.33 + 33.09 + 74.05 - 49.69 = 129.77 см⁴,

J_{Y_CZ_C} = 32.88 + 13.45 + 36.58 - 30.86 = 52.06см⁴.

4. Определение угла поворота главной центральной системы координат UV.

Тангенс угла поворота системы координат UV относительно системы координат Y_CZ_C определится по следующей формуле

tg(2α) = -2J_{Y_CZ_C} / (J_{Y_C} - J_{Z_C}) = -2·52.06 / (82.56 - 129.77) = 2.2056.

Откуда угол поворота будет равен

α = 32.81°.

Так как угол положителен, поворот системы координат UV выполняется против часовой стрелки.

5. Определение главных центральных моментов сечения

J_max,min = (J_{Y_C} + J_{Z_C}) / 2± ½·[(J_{Y_C} - J_{Z_C})² + 4·J_{Y_CZ_C}²]^½ = (82.56 + 129.77) / 2 ± ½·[(82.56 - 129.77)² + 4·52.06²]^½ = 106.16 ± 57.16.

Следовательно,

J_min = J_U = 49см⁴; J_max = J_V = 163.32см⁴.

6. Определение главных центральных моментов сопротивления сечения

Из определения моментов сопротивления сечения

W_U = J_U / |V_max|; W_V = J_V / |U_max|.

Из эскиза сечения найдем

|U_max| = 6.66см; |V_max| = 3.37см.

Главные центральные моменты сопротивления сечения будут равны

W_U = 49 / 3.37 = 14.53см³; W_V = 163.32 / 6.66 = 24.51см³.

7. Определение главных радиусов инерции

i_U = i_min = (J_U / A)^½ = (49 / 26.21)^½ = 1.37см; i_V = i_max = (J_V / A)^½ = (163.32 / 26.21)^½ = 2.5см.

Задача решена.

PDF эскиз сечения в масштабе (A4) - скачать | открыть

Примеры

ОТЧЁТ

Исходные данные

Расчёт

1. Определение площади всего сечения

2. Определение положения центра тяжести сечения

3. Определение моментов инерции всего сечения относительно центральной системы координат XCYC.

4. Определение угла поворота главной центральной системы координат UV.

5. Определение главных центральных моментов сечения

6. Определение главных центральных моментов сопротивления сечения

7. Определение главных радиусов инерции

ОТЧЁТ

Исходные данные

Расчёт

1. Определение площади всего сечения

2. Определение положения центра тяжести сечения

3. Определение моментов инерции всего сечения относительно центральной системы координат XCYC.

4. Определение угла поворота главной центральной системы координат UV.

5. Определение главных центральных моментов сечения

6. Определение главных центральных моментов сопротивления сечения

7. Определение главных радиусов инерции

ОТЧЁТ

Исходные данные

Расчёт

1. Определение площади всего сечения

2. Определение положения центра тяжести сечения

3. Определение моментов инерции всего сечения относительно центральной системы координат YCZC.

4. Определение угла поворота главной центральной системы координат UV.

5. Определение главных центральных моментов сечения

6. Определение главных центральных моментов сопротивления сечения

7. Определение главных радиусов инерции

3. Определение моментов инерции всего сечения относительно центральной системы координат X_CY_C.

3. Определение моментов инерции всего сечения относительно центральной системы координат X_CY_C.

3. Определение моментов инерции всего сечения относительно центральной системы координат Y_CZ_C.