Расчёт балки, рамы бесплатно онлайн

Построение эпюр и определение реакций опор для статически определимых систем

Не пришёл код Послать сообщение Заказать решение Поддержать проект

Примеры

Ниже приведены примеры расчётов в том виде, в котором их рассчитывает и предоставляет данный сервис. Для просмотра интересующего примера кликните на соответствующую иллюстрацию расчётной модели.

Разноцветные пометки обозначают выполнение в расчётах следующих дополнений:

  1. - подбор сечения исходя из обеспечения условия прочности;
  2. - расчёт перемещения;
  3. - разная жёсткость стержней модели;
  4. - эпюра моментов на растянутом волокне (для строителей).

двухопорная балка []


ОТЧЁТ

Исходные данные

q = 7кН/м;
M = 3кН·м;
F = 9кН;
[σ] = 160МПа.
Рис. 1. Заданная схема.

Расчёт

1. Определение реакций опор для схемы на рис.2

Составим уравнения статического равновесия.

∑Fy = -q·1.8м - F + YA + YB = 0;

∑MA = -q·1.8м·4.1м + M - F·1м + YB·3.2м = 0.

(1)

Решение уравнений статики (1) даёт следующие значения реакций:

YA = 3.5813кН;

YB = 18.019кН.

Рис. 2. Схема реакций.
Рис. 3. Эпюра Qy, кН (поперечная сила).
Рис. 4. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент).

2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.2

Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 1м)

Qy = YA = 3.5813кН.

Mx = YA·z1;

при z1 = 0; Mx = 0.

при z1 = 1м; Mx = 3.5813кН·м.

Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 2.2м)

Qy = -F + YA = -5.41875кН.

Mx = -F·z2 + YA·(z2 + 1м);

при z2 = 0; Mx = 3.5813кН·м.

при z2 = 2.2м; Mx = -8.340кН·м.

Участок №3 (0 ≤ z3 ≤ 1.8м)

Qy = q·z3;

при z3 = 0; Qy = 0.

при z3 = 1.8м; Qy = 12.6кН.

Mx = M - q·z32/2;

при z3 = 0; Mx = 3кН·м.

при z3 = 1.8м; Mx = -8.340кН·м.

3. Подбор сечения исходя из условия прочности по допустимому напряжению

Подбор выполняется в наиболее нагруженном месте, т.е. в опасном сечении. Опасное сечение располагается в точке, где внутренние силовые факторы дают максимальное напряжение. Для анализа возьмём точку, в которой значение изгибающего момента - Mx = 8.34кН·м. Геометрические характеристики сечения определятся исходя из выполнения условия прочности по допустимому напряжению:

σxmax = |Mx|/Wx ≤ [σ],

где, Wx - момент сопротивления сечения, [σ] = 160МПа - допустимое напряжение.

Выразим и определим каким должен быть момент сопротивления:

Wx = |Mx|/[σ] = 8.34·103Н·м/160·106Па = 5.2125·10-5м3 = 52.125см3.

Получившееся значение момента сопротивления округляем до ближайшего большего справочного значения и получаем следующий прокат:

Швеллер №14; A = 15.6см2; Jx = 491.1см4; Wx = 70.2см3.




изогнутая балка []


ОТЧЁТ

Исходные данные

F = 8кН;
M = 9кН·м;
q1 = 7кН/м;
q2 = 5кН/м;
[σ] = 150МПа;
n = 1.5;
h/w = 2.
Рис. 1. Заданная схема.

Расчёт

1. Определение реакций опор для схемы на рис.2

Составим уравнения статического равновесия.

∑Fx = q2·1м - XA = 0;

∑Fy = F - q1·2м + YA = 0;

∑MA = F·2м + M - q1·2м·3м + q2·1м·1.5м + MA = 0.

(1)

Решение уравнений статики (1) даёт следующие значения реакций:

XA = 5кН;

YA = 6кН;

MA = 9.5кН·м.

Рис. 2. Схема реакций. Рис. 3. Эпюра Nz, кН (осевая сила).
Рис. 4. Эпюра Qy, кН (поперечная сила). Рис. 5. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент).

2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.2

Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 2м)

Nz = XA = 5кН.

Qy = YA = 6кН.

Mx = YA·z1 - MA;

при z1 = 0; Mx = -9.50кН·м.

при z1 = 2м; Mx = 2.5кН·м.

Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 1м)

Qy = -q2·z2;

при z2 = 0; Qy = 0.

при z2 = 1м; Qy = -5кН.

Mx = q2·z22/2;

при z2 = 0; Mx = 0.

при z2 = 1м; Mx = 2.5кН·м.

Участок №3 (0 ≤ z3 ≤ 1м)

Qy = -q2·1м = -5кН.

Mx = q2·1м·(z3 + 0.5м);

при z3 = 0; Mx = 2.5кН·м.

при z3 = 1м; Mx = 7.5кН·м.

Участок №4 (0 ≤ z4 ≤ 2м)

Nz = q2·1м = 5кН.

Qy = q1·z4;

при z4 = 0; Qy = 0.

при z4 = 2м; Qy = 14кН.

Mx = -q1·z42/2 + q2·1м·1.5м;

при z4 = 0; Mx = 7.5кН·м.

при z4 = 2м; Mx = -6.50кН·м.

3. Подбор сечения исходя из условия прочности по допустимому напряжению

Подбор выполняется в наиболее нагруженном месте, т.е. в опасном сечении. Опасное сечение располагается в точке, где внутренние силовые факторы дают максимальное напряжение. Для анализа возьмём точку, в которой значение изгибающего момента - Mx = 9.5кН·м, значение осевой силы - Nz = 5кН. Геометрические характеристики сечения определятся исходя из выполнения условия прочности по допустимому напряжению:

σxmax = n·(|Mx|/Wx + |Nz|/A) ≤ [σ],

где, Wx - момент сопротивления сечения, A - площадь поперечного сечения, n = 1.5 - коэффициент запаса, [σ] = 150МПа - допустимое напряжение.

Характеристики сечения определятся методом подбора. Согласно формуле определения максимального напряжения величина напряжения состоит из двух частей: напряжения от изгибающего момента и напряжения от осевой силы. При доминировании напряжения от изгибающего момента подбор следует начинать с момента сопротивления, при доминировании напряжения от осевой силы подбор следует начинать с площади сечения. Подбор выполнять по следующим формулам:

Wx = n·|Mx|/[σ]; A = n·|Nz|/[σ].

При подборе учитываем, что площадь и момент сопротивления прямоугольного сечения выражены следующими формулами:

A = w·h; Wx = w·h2/12,

где h - высота сечения, w - ширина сечения, h/w = 2.

В результате подбора получаем следующее:

w = 5.2392см; h = 10.478см.

Площадь прямоугольного сечения равна:

A = 54.898см2.

Момент сопротивления:

Wx = w·h = 95.873см3.

Момент инерции:

Jx = w·h3/12 = 502.3см4.

С учётом результата подбора напряжение в опасном сечении равно:

σxmax = 1.5·(9.5·103Н·м/95.873·10-6м3 + 5·103Н/54.898·10-4м2) = 1.5·(99.089МПа + 0.91078МПа) = 150МПа ≤ [σ].

Условие обеспечения прочности по допустимому напряжению выполнено.




трёхопорная рама


ОТЧЁТ

Исходные данные

F1 = 2кН;
F2 = 1кН;
M = 5кН·м.
Рис. 1. Заданная схема.

Расчёт

1. Определение реакций опор для схемы на рис.2

Составим уравнения статического равновесия.

∑Fx = F1 - XA + XC = 0;

∑Fy = F2 - YB = 0;

∑MA = F1·1м - M - YB·1м + XC·2м = 0.

(1)

Решение уравнений статики (1) даёт следующие значения реакций:

XA = 4кН;

YB = 1кН;

XC = 2кН.

Рис. 2. Схема реакций. Рис. 3. Эпюра Nz, кН (осевая сила).
Рис. 4. Эпюра Qy, кН (поперечная сила). Рис. 5. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент).

2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.2

Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 1м)

Qy = -XC = -2кН.

Mx = -XC·z1 + M;

при z1 = 0; Mx = 5кН·м.

при z1 = 1м; Mx = 3кН·м.

Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 1м)

Nz = F2 = 1кН.

Qy = -XA = -4кН.

Mx = XA·z2;

при z2 = 0; Mx = 0.

при z2 = 1м; Mx = 4кН·м.

Участок №3 (0 ≤ z3 ≤ 1м)

Nz = F1 = 2кН.

Qy = YB = 1кН.

Mx = -YB·z3;

при z3 = 0; Mx = 0.

при z3 = 1м; Mx = -1кН·м.



косая нагрузка []


Примечание. Эпюра изгибающего момента построена на растянутом волокне (Диалог "Настройки").

ОТЧЁТ

Исходные данные

q = 4кН/м;
F = 21кН;
M = 19кН·м.
Рис. 1. Заданная схема.

Расчёт

1. Определение реакций опор для схемы на рис.2

Составим уравнения статического равновесия.

∑Fx = F - XA = 0;

∑Fy = -q·5.83м + YA = 0;

∑MA = -q·5.83м·9.5м + M + MA = 0.

(1)

Решение уравнений статики (1) даёт следующие значения реакций:

XA = 21кН;

YA = 23.324кН;

MA = 202.58кН·м.

Рис. 2. Схема реакций.
Рис. 3. Эпюра Nz, кН (осевая сила).
Рис. 4. Эпюра Qy, кН (поперечная сила).
Рис. 5. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент).

2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.2

Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 5м)

Nz = -YA = -23.3238кН.

Qy = XA = 21кН.

Mx = XA·z1 - MA;

при z1 = 0; Mx = 202.58кН·м.

при z1 = 5м; Mx = 97.576кН·м.

Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 7м)

Nz = XA = 21кН.

Qy = YA = 23.324кН.

Mx = XA·5м + YA·z2 - MA;

при z2 = 0; Mx = 97.576кН·м.

при z2 = 7м; Mx = -65.690кН·м.

Участок №3 (0 ≤ z3 ≤ 2м)

Qy = -F = -21.0кН.

Mx = F·z3 + M;

при z3 = 0; Mx = -19.0кН·м.

при z3 = 2м; Mx = -61.0кН·м.

Участок №4 (0 ≤ z4 ≤ 5.831м)

Nz = q·sin(30.96°)·z4 + F·cos(30.96°);

при z4 = 0; Nz = 18.007кН.

при z4 = 5.831м; Nz = 30.007кН.

Qy = q·cos(30.96°)·z4 - F·sin(30.96°);

при z4 = 0; Qy = -10.8044кН.

при z4 = 5.831м; Qy = 9.1956кН.

Mx = -q·cos(30.96°)·z42/2 + F·cos(30.96°)·1.715м + F·sin(30.96°)·(z4 + 1.029м) + M;

при z4 = 0; Mx = -61.0кН·м.

при z4 = 3.15м; Mx = -78.0169кН·м.

при z4 = 5.831м; Mx = -65.690кН·м.



опр-е перемещения []


ОТЧЁТ

Исходные данные

q = 5кН/м;
F = 5кН;
M = 2кН·м;
к.т. C - [y].
Рис. 1. Заданная схема.

Расчёт

1. Определение реакций опор для схемы на рис.2

Составим уравнения статического равновесия.

∑Fy = -q·2м + F + YA + YB = 0;

∑MA = -q·2м·1м + F·2м - M + YB·3м = 0.

(1)

Решение уравнений статики (1) даёт следующие значения реакций:

YA = 4.3333кН;

YB = 0.66667кН.

Рис. 2. Схема реакций. Рис. 3. Эпюра Qy, кН (поперечная сила).
Рис. 4. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент).

2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.2

Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 2м)

Qy = YA - q·z1;

при z1 = 0; Qy = 4.3333кН.

при z1 = 2м; Qy = -5.66667кН.

Mx = YA·z1 - q·z12/2;

при z1 = 0; Mx = 0.

при z1 = 0.86667м; Mx = 1.8778кН·м.

при z1 = 2м; Mx = -1.33333кН·м.

Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 1м)

Qy = -YB = -0.666667кН.

Mx = YB·z2 - M;

при z2 = 0; Mx = -2кН·м.

при z2 = 1м; Mx = -1.33333кН·м.

Теперь для определения перемещения в контрольной точке построим соответствующую единичную систему, рассчитаем для неё реакции опор и эпюры изгибающего момента. Перемножение эпюр изгибающих моментов заданной системы и единичной даст искомое перемещение.

3. Определение реакций опор для схемы на рис.5

Составим уравнения статического равновесия.

∑Fy = 1 - YA - YB = 0;

∑MA = 1·1м - YB·3м = 0.

(2)

Решение уравнений статики (2) даёт следующие значения реакций:

YA = 0.66667;

YB = 0.33333.

Рис. 5. Схема реакций. Рис. 6. Эпюра Mx.

4. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.5

Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 1м)

Mx = -YA·z1;

при z1 = 0; Mx = 0.

при z1 = 1м; Mx = -0.666667.

Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 2м)

Mx = -YB·z2;

при z2 = 0; Mx = 0.

при z2 = 2м; Mx = -0.666667.

5. Определение перемещения точки C

Перемещение определится как результат перемножения эпюр изгибающих моментов для заданной системы (рис. 4) и единичной системы построенной для расчёта перемещения (рис. 6):

ΔC = [1/EJ]·({[1333.3]·(-0.40972)}1,1 + {[666.67]·(-0.63194)}1,2 + {[1·(-1333.3 - 2·103)/2]·(-0.15556)}2,2) = (1/EJ)·(-546.3 - 421.3 + 259.26) = -708.33/EJ.

Пояснения по расчёту перемещения находятся по ссылке


разная жёсткость []


ОТЧЁТ

Исходные данные

q = 9кН/м;
F = 6кН;
M = 1кН·м;
к.т. C - [θz].
Рис. 1. Заданная схема.

Расчёт

1. Определение реакций опор для схемы на рис.2

Составим уравнения статического равновесия.

∑Fx = XA - XB = 0;

∑Fy = -q·1м + F + YA = 0;

∑MA = -q·1м·0.5м + M + XB·1м = 0.

(1)

Решение уравнений статики (1) даёт следующие значения реакций:

XA = 3.5кН;

YA = 3кН;

XB = 3.5кН.

Рис. 2. Схема реакций. Рис. 3. Эпюра Nz, кН (осевая сила).
Рис. 4. Эпюра Qy, кН (поперечная сила). Рис. 5. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент).

2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.2

Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 1м)

Nz = -XA = -3.50кН.

Qy = YA = 3кН.

Mx = YA·z1;

при z1 = 0; Mx = 0.

при z1 = 1м; Mx = 3кН·м.

Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 1м)

Nz = -YA = -3кН.

Qy = -XA = -3.50кН.

Mx = -XA·z2 + YA·1м;

при z2 = 0; Mx = 3кН·м.

при z2 = 1м; Mx = -0.5кН·м.

Участок №3 (0 ≤ z3 ≤ 1м)

Nz = XA = 3.5кН.

Qy = q·z3 - YA;

при z3 = 0; Qy = -3кН.

при z3 = 1м; Qy = 6кН.

Mx = q·z32/2 - XA·1м + YA·(1м - z3);

при z3 = 0; Mx = -0.5кН·м.

при z3 = 0.33333м; Mx = -1кН·м.

при z3 = 1м; Mx = 1кН·м.

Теперь для определения перемещения в контрольной точке построим соответствующую единичную систему, рассчитаем для неё реакции опор и эпюры изгибающего момента. Перемножение эпюр изгибающих моментов заданной системы и единичной даст искомое перемещение.

3. Определение реакций опор для схемы на рис.6

Составим уравнения статического равновесия.

∑Fx = -XA + XB = 0;

∑MA = 1 - XB·1м = 0.

(2)

Решение уравнений статики (2) даёт следующие значения реакций:

XA = 1;

XB = 1.

Рис. 6. Схема реакций. Рис. 7. Эпюра Mx.

4. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.6

Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 1м)

Mx = -XB·z1;

при z1 = 0; Mx = 0.

при z1 = 1м; Mx = -1.

Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 0.5м)

Mx = -XB·1м = -1.

5. Определение перемещения точки C

Перемещение определится как результат перемножения эпюр изгибающих моментов для заданной системы (рис. 5) и единичной системы построенной для расчёта перемещения (рис. 7):

θC = ({[1/EJ]·[0.5·(1500 + 3·103)/2]·(-1)}1,2 + {[1/(2·EJ)]·[1·(3·103 - 500)/2]·(-0.73333)}2,1) = (1/EJ)·(-1125 - 458.33) = -1583.3/EJ.

Пояснения по расчёту перемещения находятся по ссылке


балка с шарнирами []


Примечание. Эпюра изгибающего момента построена на растянутом волокне (Диалог "Настройки").

ОТЧЁТ

Исходные данные

F = 5кН;
q = 12кН/м;
M = 3кН·м;
[σ] = 160МПа;
n = 1.5.
Рис. 1. Заданная схема.

Расчёт

1. Определение реакций опор для схемы на рис.2

Составим уравнения статического равновесия.

∑Fy = -F - q·2.8м - YA + YB + YC = 0;

∑MA = -F·5м - q·2.8м·2.6м + M - MA + YB·2м + YC·4м = 0;

∑MD = YA·1.2м - MA = 0;

∑ME = YC·1.5м - q·1.5м·0.75м + M - F·2.5м = 0.

(1)

Решение уравнений статики (1) даёт следующие значения реакций:

YA = 1.8667кН;

MA = 2.24кН·м;

YB = 25.133кН;

YC = 15.333кН.

Рис. 2. Схема реакций.
Рис. 3. Эпюра Qy, кН (поперечная сила).
Рис. 4. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент).

2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.2

Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 1.2м)

Qy = -YA = -1.86667кН.

Mx = -YA·z1 + MA;

при z1 = 0; Mx = -2.240кН·м.

при z1 = 1.2м; Mx = 0.

Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 0.8м)

Qy = -q·z2 - YA;

при z2 = 0; Qy = -1.86667кН.

при z2 = 0.8м; Qy = -11.4667кН.

Mx = -q·z22/2 - YA·(z2 + 1.2м) + MA;

при z2 = 0; Mx = 0.

при z2 = 0.8м; Mx = 5.3333кН·м.

Участок №3 (0 ≤ z3 ≤ 0.5м)

Qy = YB - q·z3 - q·0.8м - YA;

при z3 = 0; Qy = 13.667кН.

при z3 = 0.5м; Qy = 7.6667кН.

Mx = YB·z3 - q·z32/2 - q·0.8м·(z3 + 0.4м) - YA·(z3 + 2м) + MA;

при z3 = 0; Mx = 5.3333кН·м.

при z3 = 0.5м; Mx = 0.

Участок №4 (0 ≤ z4 ≤ 1м)

Qy = F = 5кН.

Mx = -F·z4;

при z4 = 0; Mx = 0.

при z4 = 1м; Mx = 5кН·м.

Участок №5 (0 ≤ z5 ≤ 1.5м)

Qy = -YC + q·z5 + F;

при z5 = 0; Qy = -10.3333кН.

при z5 = 1.5м; Qy = 7.6667кН.

Mx = YC·z5 + M - q·z52/2 - F·(z5 + 1м);

при z5 = 0; Mx = 2кН·м.

при z5 = 0.86111м; Mx = -2.44907кН·м.

при z5 = 1.5м; Mx = 0.

3. Подбор сечения исходя из условия прочности по допустимому напряжению

Подбор выполняется в наиболее нагруженном месте, т.е. в опасном сечении. Опасное сечение располагается в точке, где внутренние силовые факторы дают максимальное напряжение. Для анализа возьмём точку, в которой значение изгибающего момента - Mx = 5.3333кН·м. Геометрические характеристики сечения определятся исходя из выполнения условия прочности по допустимому напряжению:

σxmax = n·|Mx|/Wx ≤ [σ],

где, Wx - момент сопротивления сечения, n = 1.5 - коэффициент запаса, [σ] = 160МПа - допустимое напряжение.

Выразим и определим каким должен быть момент сопротивления:

Wx = n·|Mx|/[σ] = 1.5·5.3333·103Н·м/160·106Па = 5·10-5м3 = 50см3.

Получившееся значение момента сопротивления округляем до ближайшего большего справочного значения и получаем следующий прокат:

Уголок равнополочный №125x125x14; A = 33.37см2; Jx = 481.76см4; Wx = 54.17см3.




рама с шарниром []


Примечание. Эпюра изгибающего момента построена на растянутом волокне (Диалог "Настройки").

ОТЧЁТ

Исходные данные

q = 2кН/м;
F = 3кН;
M = 3кН·м;
[σ] = 160МПа;
E = 2·105МПа;
J1 = 4·104см4;
J2 = 5·104см4;
к.т. C - [y].
Рис. 1. Заданная схема.

Расчёт

1. Определение реакций опор для схемы на рис.2

Составим уравнения статического равновесия.

∑Fx = -XA + XB = 0;

∑Fy = -q·4.5м - F - YA + YD = 0;

∑MA = -q·4.5м·2.25м - F·7м + M - XB·4м + YD·8.5м = 0;

∑ME = -XA·2м + YA·4.5м + q·4.5м·2.25м = 0.

(1)

Решение уравнений статики (1) даёт следующие значения реакций:

XA = 114.75кН;

YA = 46.5кН;

XB = 114.75кН;

YD = 58.5кН.

Рис. 2. Схема реакций.
Рис. 3. Эпюра Nz, кН (осевая сила).
Рис. 4. Эпюра Qy, кН (поперечная сила).
Рис. 5. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент).

2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.2

Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 2м)

Nz = YA = 46.5кН.

Qy = XA = 114.75кН.

Mx = XA·z1;

при z1 = 0; Mx = 0.

при z1 = 2м; Mx = -229.50кН·м.

Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 4.5м)

Nz = XA = 114.75кН.

Qy = -q·z2 - YA;

при z2 = 0; Qy = -46.50кН.

при z2 = 4.5м; Qy = -55.50кН.

Mx = -q·z22/2 + XA·2м - YA·z2;

при z2 = 0; Mx = -229.50кН·м.

при z2 = 4.5м; Mx = 0.

Участок №3 (0 ≤ z3 ≤ 4м)

Qy = -YD = -58.50кН.

Mx = YD·z3;

при z3 = 0; Mx = 0.

при z3 = 4м; Mx = -234.0кН·м.

Участок №4 (0 ≤ z4 ≤ 2м)

Nz = -YD = -58.50кН.

Mx = M + YD·4м = -237.0кН·м.

Участок №5 (0 ≤ z5 ≤ 1.5м)

Nz = XB = 114.75кН.

Участок №6 (0 ≤ z6 ≤ 2.5м)

Nz = XB = 114.75кН.

Qy = F = 3кН.

Mx = -F·z6;

при z6 = 0; Mx = 0.

при z6 = 2.5м; Mx = 7.5кН·м.

Участок №7 (0 ≤ z7 ≤ 2м)

Nz = -F = -3кН.

Qy = XB = 114.75кН.

Mx = -F·2.5м - XB·z7;

при z7 = 0; Mx = 7.5кН·м.

при z7 = 2м; Mx = 237кН·м.

3. Подбор сечения исходя из условия прочности по допустимому напряжению

Подбор выполняется в наиболее нагруженном месте, т.е. в опасном сечении. Опасное сечение располагается в точке, где внутренние силовые факторы дают максимальное напряжение. Для анализа возьмём точку, в которой значение изгибающего момента - Mx = 229.5кН·м, значение осевой силы - Nz = 114.75кН. Геометрические характеристики сечения определятся исходя из выполнения условия прочности по допустимому напряжению:

σxmax = |Mx|/Wx + |Nz|/A ≤ [σ],

где, Wx - момент сопротивления сечения, A - площадь поперечного сечения, [σ] = 160МПа - допустимое напряжение.

Характеристики сечения определятся методом подбора. Согласно формуле определения максимального напряжения величина напряжения состоит из двух частей: напряжения от изгибающего момента и напряжения от осевой силы. При доминировании напряжения от изгибающего момента подбор следует начинать с момента сопротивления, при доминировании напряжения от осевой силы подбор следует начинать с площади сечения. Подбор выполнять по следующим формулам:

Wx = |Mx|/[σ]; A = |Nz|/[σ].

Получившиеся значения геометрических характеристик сечения округляем до ближайшего большего справочного значения и получаем следующий прокат:

Двутавр №50; A = 100см2; Jx = 39727см4; Wx = 1589см3.

С учётом результата подбора напряжение в опасном сечении равно:

σxmax = 229.5·103Н·м/1589·10-6м3 + 114.75·103Н/100·10-4м2 = 144.43МПа + 11.475МПа = 155.91МПа ≤ [σ].

Условие обеспечения прочности по допустимому напряжению выполнено.


Теперь для определения перемещения в контрольной точке построим соответствующую единичную систему, рассчитаем для неё реакции опор и эпюры изгибающего момента. Перемножение эпюр изгибающих моментов заданной системы и единичной даст искомое перемещение.

4. Определение реакций опор для схемы на рис.6

Составим уравнения статического равновесия.

∑Fx = XA - XB = 0;

∑Fy = 1 + YA - YD = 0;

∑MA = 1·7м + XB·4м - YD·8.5м = 0;

∑ME = XA·2м - YA·4.5м = 0.

(2)

Решение уравнений статики (2) даёт следующие значения реакций:

XA = 6.75;

YA = 3;

XB = 6.75;

YD = 4.

Рис. 6. Схема реакций.
Рис. 7. Эпюра Mx.

5. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис.6

Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 2м)

Mx = -XA·z1;

при z1 = 0; Mx = 0.

при z1 = 2м; Mx = 13.5.

Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 4.5м)

Mx = -XA·2м + YA·z2;

при z2 = 0; Mx = 13.5.

при z2 = 4.5м; Mx = 0.

Участок №3 (0 ≤ z3 ≤ 4м)

Mx = -YD·z3;

при z3 = 0; Mx = 0.

при z3 = 4м; Mx = 16.

Участок №4 (0 ≤ z4 ≤ 2м)

Mx = -YD·4м = 16.

Участок №5 (0 ≤ z5 ≤ 2.5м)

Mx = 1·z5;

при z5 = 0; Mx = 0.

при z5 = 2.5м; Mx = -2.50.

Участок №6 (0 ≤ z6 ≤ 2м)

Mx = 1·2.5м + XB·z6;

при z6 = 0; Mx = -2.50.

при z6 = 2м; Mx = -16.0.

6. Определение перемещения точки C

Перемещение определится как результат перемножения эпюр изгибающих моментов для заданной системы (рис. 5) и единичной системы построенной для расчёта перемещения (рис. 7):

ΔC = ({[1/(2·1011·4·10-4)]·(2/6)·[0·0 + 4·114750·(-6.75) + 229500·(-13.5)]}1,1 + {[1/(2·1011·4·10-4)]·(4.5/6)·[229500·(-13.5) + 4·119812·(-6.75) + 0·0]}2,2 + {[1/(2·1011·5·10-4)]·(4/6)·[2.34·105·(-16) + 4·1.17·105·(-8) + 0·0]}3,3 + {[1/(2·1011·4·10-4)]·(2/6)·[2.37·105·(-16) + 4·2.37·105·(-16) + 2.37·105·(-16)]}4,4 + {[1/(2·1011·5·10-4)]·(2.5/6)·[(-7500)·2.5 + 4·(-3750)·1.25 + 0·0]}6,5 + {[1/(2·1011·4·10-4)]·(2/6)·[(-2.37·105)·16 + 4·(-122250)·9.25 + (-7500)·2.5]}7,6) = (-0.025819 - 0.059374 - 0.04992 - 0.0948 - 1.5625·10-4 - 0.034725) = -0.26479м.

Пояснения по расчёту перемещения находятся по ссылке