Примеры. Расчёт статически определимых рам и балок
(определение реакций и построение эпюр)
Примеры
Ниже приведены примеры расчётов в том виде, в котором их рассчитывает и предоставляет данный сервис. Для просмотра интересующего примера кликните на соответствующую иллюстрацию расчётной модели.
Разноцветные пометки обозначают выполнение в расчётах следующих дополнений:
двухопорная балка [•]
ОТЧЁТ
Исходные данные
| q = 7кН/м; |
| M = 3кН·м; |
| F = 9кН; |
| [σ] = 160МПа. |
| Рис. 1. Заданная схема. |
Расчёт
1. Определение реакций опор для схемы на рис.2
Составим уравнения статического равновесия.
∑Fy = -q·1.8м - F + YA + YB = 0; ∑MA = -q·1.8м·4.1м + M - F·1м + YB·3.2м = 0. | (1) |
Решение уравнений статики (1) даёт следующие значения реакций:
YA = 3.5813кН;
YB = 18.019кН.
| Рис. 2. Схема реакций. |
| Рис. 3. Эпюра Qy, кН (поперечная сила). |
| Рис. 4. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент). |
2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.2
Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 1м)
Qy = YA = 3.5813кН.
Mx = YA·z1;
при z1 = 0; Mx = 0.
при z1 = 1м; Mx = 3.5813кН·м.
Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 2.2м)
Qy = -F + YA = -5.41875кН.
Mx = -F·z2 + YA·(z2 + 1м);
при z2 = 0; Mx = 3.5813кН·м.
при z2 = 2.2м; Mx = -8.340кН·м.
Участок №3 (0 ≤ z3 ≤ 1.8м)
Qy = q·z3;
при z3 = 0; Qy = 0.
при z3 = 1.8м; Qy = 12.6кН.
Mx = M - q·z32/2;
при z3 = 0; Mx = 3кН·м.
при z3 = 1.8м; Mx = -8.340кН·м.
3. Подбор сечения исходя из условия прочности по допустимому напряжению
Подбор выполняется в наиболее нагруженном месте, т.е. в опасном сечении. Опасное сечение располагается в точке, где внутренние силовые факторы дают максимальное напряжение. Для анализа возьмём точку, в которой значение изгибающего момента - Mx = 8.34кН·м. Геометрические характеристики сечения определятся исходя из выполнения условия прочности по допустимому напряжению:
σxmax = |Mx|/Wx ≤ [σ],
где, Wx - момент сопротивления сечения, [σ] = 160МПа - допустимое напряжение.
Выразим и определим каким должен быть момент сопротивления:
Wx = |Mx|/[σ] = 8.34·103Н·м/160·106Па = 5.2125·10-5м3 = 52.125см3.
Получившееся значение момента сопротивления округляем до ближайшего большего справочного значения и получаем следующий прокат:
Швеллер №14; A = 15.6см2; Jx = 491.1см4; Wx = 70.2см3.
изогнутая балка [•]
ОТЧЁТ
Исходные данные
|
|
Расчёт
1. Определение реакций опор для схемы на рис.2
Составим уравнения статического равновесия.
∑Fx = q2·1м - XA = 0; ∑Fy = F - q1·2м + YA = 0; ∑MA = F·2м + M - q1·2м·3м + q2·1м·1.5м + MA = 0. | (1) |
Решение уравнений статики (1) даёт следующие значения реакций:
XA = 5кН;
YA = 6кН;
MA = 9.5кН·м.
| Рис. 2. Схема реакций. | Рис. 3. Эпюра Nz, кН (осевая сила). |
| Рис. 4. Эпюра Qy, кН (поперечная сила). | Рис. 5. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент). |
2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.2
Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 2м)
Nz = XA = 5кН.
Qy = YA = 6кН.
Mx = YA·z1 - MA;
при z1 = 0; Mx = -9.50кН·м.
при z1 = 2м; Mx = 2.5кН·м.
Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 1м)
Qy = -q2·z2;
при z2 = 0; Qy = 0.
при z2 = 1м; Qy = -5кН.
Mx = q2·z22/2;
при z2 = 0; Mx = 0.
при z2 = 1м; Mx = 2.5кН·м.
Участок №3 (0 ≤ z3 ≤ 1м)
Qy = -q2·1м = -5кН.
Mx = q2·1м·(z3 + 0.5м);
при z3 = 0; Mx = 2.5кН·м.
при z3 = 1м; Mx = 7.5кН·м.
Участок №4 (0 ≤ z4 ≤ 2м)
Nz = q2·1м = 5кН.
Qy = q1·z4;
при z4 = 0; Qy = 0.
при z4 = 2м; Qy = 14кН.
Mx = -q1·z42/2 + q2·1м·1.5м;
при z4 = 0; Mx = 7.5кН·м.
при z4 = 2м; Mx = -6.50кН·м.
3. Подбор сечения исходя из условия прочности по допустимому напряжению
Подбор выполняется в наиболее нагруженном месте, т.е. в опасном сечении. Опасное сечение располагается в точке, где внутренние силовые факторы дают максимальное напряжение. Для анализа возьмём точку, в которой значение изгибающего момента - Mx = 9.5кН·м, значение осевой силы - Nz = 5кН. Геометрические характеристики сечения определятся исходя из выполнения условия прочности по допустимому напряжению:
σxmax = n·(|Mx|/Wx + |Nz|/A) ≤ [σ],
где, Wx - момент сопротивления сечения, A - площадь поперечного сечения, n = 1.5 - коэффициент запаса, [σ] = 150МПа - допустимое напряжение.
Характеристики сечения определятся методом подбора. Согласно формуле определения максимального напряжения величина напряжения состоит из двух частей: напряжения от изгибающего момента и напряжения от осевой силы. При доминировании напряжения от изгибающего момента подбор следует начинать с момента сопротивления, при доминировании напряжения от осевой силы подбор следует начинать с площади сечения. Подбор выполнять по следующим формулам:
Wx = n·|Mx|/[σ]; A = n·|Nz|/[σ].
При подборе учитываем, что площадь и момент сопротивления прямоугольного сечения выражены следующими формулами:
A = w·h; Wx = w·h2/12,
где h - высота сечения, w - ширина сечения, h/w = 2.
В результате подбора получаем следующее:
w = 5.2392см; h = 10.478см.
Площадь прямоугольного сечения равна:
A = 54.898см2.
Момент сопротивления:
Wx = w·h = 95.873см3.
Момент инерции:
Jx = w·h3/12 = 502.3см4.
С учётом результата подбора напряжение в опасном сечении равно:
σxmax = 1.5·(9.5·103Н·м/95.873·10-6м3 + 5·103Н/54.898·10-4м2) = 1.5·(99.089МПа + 0.91078МПа) = 150МПа ≤ [σ].
Условие обеспечения прочности по допустимому напряжению выполнено.
трёхопорная рама
ОТЧЁТ
Исходные данные
|
|
Расчёт
1. Определение реакций опор для схемы на рис.2
Составим уравнения статического равновесия.
∑Fx = F1 - RA·cos(70°) + RB·cos(20°) - RC·cos(45°) = 0; ∑Fy = F2 - RA·sin(70°) - RB·sin(20°) + RC·sin(45°) = 0; ∑MA = -F2·1м - M + RB·cos(20°)·1м + RB·sin(20°)·1м + RC·cos(45°)·1м - RC·sin(45°)·1м = 0. | (1) |
Решение уравнений статики (1) даёт следующие значения реакций:
RA = 4.5235кН;
RB = 4.6812кН;
RC = 6.8615кН.
| Рис. 2. Схема реакций. | Рис. 3. Эпюра Nz, кН (осевая сила). |
| Рис. 4. Эпюра Qy, кН (поперечная сила). | Рис. 5. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент). |
2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.2
Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 1м)
Nz = RB·cos(70°) = 1.6011кН.
Qy = -RB·sin(70°) = -4.3989кН.
Mx = -RB·sin(70°)·z1 + M;
при z1 = 0; Mx = 5кН·м.
при z1 = 1м; Mx = 0.60108кН·м.
Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 1м)
Nz = RC·cos(45°) + F2 = 5.8518кН.
Qy = -RC·sin(45°) = -4.8518кН.
Mx = RC·sin(45°)·z2;
при z2 = 0; Mx = 0.
при z2 = 1м; Mx = 4.8518кН·м.
Участок №3 (0 ≤ z3 ≤ 1м)
Nz = -RA·cos(70°) + F1 = 0.45287кН.
Qy = RA·sin(70°) = 4.2507кН.
Mx = -RA·sin(70°)·z3;
при z3 = 0; Mx = 0.
при z3 = 1м; Mx = -4.2507кН·м.
косая нагрузка [•]
Примечание. Эпюра изгибающего момента построена на растянутом волокне (Диалог "Настройки").
ОТЧЁТ
Исходные данные
| q = 4кН/м; |
| F = 21кН; |
| M = 19кН·м. |
| Рис. 1. Заданная схема. |
Расчёт
1. Определение реакций опор для схемы на рис.2
Составим уравнения статического равновесия.
∑Fx = F - XA = 0; ∑Fy = -q·5.83м + YA = 0; ∑MA = -q·5.83м·9.5м + M + MA = 0. | (1) |
Решение уравнений статики (1) даёт следующие значения реакций:
XA = 21кН;
YA = 23.324кН;
MA = 202.58кН·м.
| Рис. 2. Схема реакций. |
| Рис. 3. Эпюра Nz, кН (осевая сила). |
| Рис. 4. Эпюра Qy, кН (поперечная сила). |
| Рис. 5. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент). |
2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.2
Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 5м)
Nz = -YA = -23.324кН.
Qy = XA = 21кН.
Mx = XA·z1 - MA;
при z1 = 0; Mx = -202.58кН·м.
при z1 = 5м; Mx = -97.576кН·м.
Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 7м)
Nz = XA = 21кН.
Qy = YA = 23.324кН.
Mx = XA·5м + YA·z2 - MA;
при z2 = 0; Mx = -97.576кН·м.
при z2 = 7м; Mx = 65.69кН·м.
Участок №3 (0 ≤ z3 ≤ 2м)
Qy = -F = -21кН.
Mx = F·z3 + M;
при z3 = 0; Mx = 19кН·м.
при z3 = 2м; Mx = 61кН·м.
Участок №4 (0 ≤ z4 ≤ 5.831м)
Nz = q·sin(30.96°)·z4 + F·cos(30.96°);
при z4 = 0; Nz = 18.007кН.
при z4 = 5.831м; Nz = 30.007кН.
Qy = q·cos(30.96°)·z4 - F·sin(30.96°);
при z4 = 0; Qy = -10.804кН.
при z4 = 5.831м; Qy = 9.1956кН.
Mx = -q·cos(30.96°)·z42/2 + F·cos(30.96°)·1.715м + F·sin(30.96°)·(z4 + 1.029м) + M;
при z4 = 0; Mx = 61кН·м.
при z4 = 3.15м; Mx = 78.017кН·м.
при z4 = 5.831м; Mx = 65.69кН·м.
опр-е перемещения [•]
ОТЧЁТ
Исходные данные
|
|
Расчёт
1. Определение реакций опор для схемы на рис.2
Составим уравнения статического равновесия.
∑Fx = XB - RC·cos(55°) = 0; ∑Fy = -q·2м + F + YB + RC·sin(55°) = 0; ∑MB = -q·2м·1м + F·2м - M + RC·sin(55°)·3м = 0. | (1) |
Решение уравнений статики (1) даёт следующие значения реакций:
XB = 0.46681кН;
YB = 4.3333кН;
RC = 0.81385кН.
| Рис. 2. Схема реакций. | Рис. 3. Эпюра Nz, кН (осевая сила). |
| Рис. 4. Эпюра Qy, кН (поперечная сила). | Рис. 5. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент). |
2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.2
Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 2м)
Nz = -XB = -0.46681кН.
Qy = YB - q·z1;
при z1 = 0; Qy = 4.3333кН.
при z1 = 2м; Qy = -5.6667кН.
Mx = YB·z1 - q·z12/2;
при z1 = 0; Mx = 0.
при z1 = 0.86667м; Mx = 1.8778кН·м.
при z1 = 2м; Mx = -1.3333кН·м.
Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 1м)
Nz = -RC·cos(55°) = -0.46681кН.
Qy = -RC·sin(55°) = -0.66667кН.
Mx = RC·sin(55°)·z2 - M;
при z2 = 0; Mx = -2кН·м.
при z2 = 1м; Mx = -1.3333кН·м.
3. Определение перемещения точки A
Для определения перемещения в заданной точке построим соответствующую единичную систему, рассчитаем для неё реакции опор и эпюры изгибающего момента. Перемножение эпюр изгибающих моментов заданной системы и единичной даст искомое перемещение.
3.1. Определение реакций опор для схемы на рис. 6
Составим уравнения статического равновесия.
∑Fx = -XB + RC·cos(55°) = 0; ∑Fy = 1 - YB - RC·sin(55°) = 0; ∑MB = 1·1м - RC·sin(55°)·3м = 0. | (2) |
Решение уравнений статики (2) даёт следующие значения реакций:
XB = 0.2334;
YB = 0.66667;
RC = 0.40692.
| Рис. 6. Схема реакций. | Рис. 7. Эпюра Mx. |
3.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис. 6
Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 1м)
Mx = -YB·z1;
при z1 = 0; Mx = 0.
при z1 = 1м; Mx = -0.66667.
Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 2м)
Mx = -RC·sin(55°)·z2;
при z2 = 0; Mx = 0.
при z2 = 2м; Mx = -0.66667.
3.3. Расчёт перемещения
Перемещение определится как результат перемножения эпюр изгибающих моментов для заданной системы (рис. 5) и единичной системы построенной для расчёта перемещения (рис. 7):
ΔA = [1/EJ]·({[1333.3]·(-0.40972)}1,1 + {[666.67]·(-0.63194)}1,2 + {[1·(-1333.3 - 2·103)/2]·(-0.15556)}2,2) = (1/EJ)·(-546.3 - 421.3 + 259.26) = -708.3/EJ.
Пояснения по расчёту перемещения находятся по ссылкеразная жёсткость [••]
ОТЧЁТ
Исходные данные
|
|
Расчёт
1. Определение реакций опор для схемы на рис.2
Составим уравнения статического равновесия.
∑Fx = XA - XB = 0; ∑Fy = -q·1м + F + YA = 0; ∑MA = -q·1м·0.5м + M + XB·1м = 0. | (1) |
Решение уравнений статики (1) даёт следующие значения реакций:
XA = 3.5кН;
YA = 3кН;
XB = 3.5кН.
| Рис. 2. Схема реакций. | Рис. 3. Эпюра Nz, кН (осевая сила). |
| Рис. 4. Эпюра Qy, кН (поперечная сила). | Рис. 5. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент). |
2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.2
Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 1м)
Nz = -XA = -3.5кН.
Qy = YA = 3кН.
Mx = YA·z1;
при z1 = 0; Mx = 0.
при z1 = 1м; Mx = 3кН·м.
Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 1м)
Nz = -YA = -3кН.
Qy = -XA = -3.5кН.
Mx = -XA·z2 + YA·1м;
при z2 = 0; Mx = 3кН·м.
при z2 = 1м; Mx = -0.5кН·м.
Участок №3 (0 ≤ z3 ≤ 1м)
Nz = XA = 3.5кН.
Qy = q·z3 - YA;
при z3 = 0; Qy = -3кН.
при z3 = 1м; Qy = 6кН.
Mx = q·z32/2 - XA·1м + YA·(1м - z3);
при z3 = 0; Mx = -0.5кН·м.
при z3 = 0.33333м; Mx = -1кН·м.
при z3 = 1м; Mx = 1кН·м.
3. Определение перемещения точки C
Для определения перемещения в заданной точке построим соответствующую единичную систему, рассчитаем для неё реакции опор и эпюры изгибающего момента. Перемножение эпюр изгибающих моментов заданной системы и единичной даст искомое перемещение.
3.1. Определение реакций опор для схемы на рис. 6
Составим уравнения статического равновесия.
∑Fx = -XA + XB = 0; ∑MA = 1 - XB·1м = 0. | (2) |
Решение уравнений статики (2) даёт следующие значения реакций:
XA = 1;
XB = 1.
| Рис. 6. Схема реакций. | Рис. 7. Эпюра Mx. |
3.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис. 6
Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 1м)
Mx = -XB·z1;
при z1 = 0; Mx = 0.
при z1 = 1м; Mx = -1.
Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 0.5м)
Mx = -XB·1м = -1.
3.3. Расчёт перемещения
Перемещение определится как результат перемножения эпюр изгибающих моментов для заданной системы (рис. 5) и единичной системы построенной для расчёта перемещения (рис. 7):
θC = ({[1/EJ]·[0.5·(1500 + 3·103)/2]·(-1)}1,2 + {[1/(2·EJ)]·[1·(3·103 - 500)/2]·(-0.73333)}2,1) = (1/EJ)·(-1125 - 458.33) = -1583/EJ.
Пояснения по расчёту перемещения находятся по ссылкебалка с шарнирами [••]
Примечание. Эпюра изгибающего момента построена на растянутом волокне (Диалог "Настройки").
ОТЧЁТ
Исходные данные
| q = 12кН/м; |
| F = 5кН; |
| M = 3кН·м; |
| [σ] = 160МПа; |
| n = 1.5. |
| Рис. 1. Заданная схема. |
Расчёт
1. Определение реакций опор для схемы на рис.2
Составим уравнения статического равновесия.
∑Fy = -q·2.8м - F - YA + YB + YC = 0; ∑MA = -q·2.8м·2.6м - F·5м + M - MA + YB·2м + YC·4м = 0; ∑MD = YA·1.2м - MA = 0; ∑ME = YC·1.5м - q·1.5м·0.75м + M - F·2.5м = 0. | (1) |
Решение уравнений статики (1) даёт следующие значения реакций:
YA = 1.8667кН;
MA = 2.24кН·м;
YB = 25.133кН;
YC = 15.333кН.
| Рис. 2. Схема реакций. |
| Рис. 3. Эпюра Qy, кН (поперечная сила). |
| Рис. 4. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент). |
2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.2
Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 1.2м)
Qy = -YA = -1.8667кН.
Mx = -YA·z1 + MA;
при z1 = 0; Mx = 2.24кН·м.
при z1 = 1.2м; Mx = 0.
Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 0.8м)
Qy = -q·z2 - YA;
при z2 = 0; Qy = -1.8667кН.
при z2 = 0.8м; Qy = -11.467кН.
Mx = -q·z22/2 - YA·(z2 + 1.2м) + MA;
при z2 = 0; Mx = 0.
при z2 = 0.8м; Mx = -5.3333кН·м.
Участок №3 (0 ≤ z3 ≤ 0.5м)
Qy = YB - q·z3 - q·0.8м - YA;
при z3 = 0; Qy = 13.667кН.
при z3 = 0.5м; Qy = 7.6667кН.
Mx = YB·z3 - q·z32/2 - q·0.8м·(z3 + 0.4м) - YA·(z3 + 2м) + MA;
при z3 = 0; Mx = -5.3333кН·м.
при z3 = 0.5м; Mx = 0.
Участок №4 (0 ≤ z4 ≤ 1м)
Qy = F = 5кН.
Mx = -F·z4;
при z4 = 0; Mx = 0.
при z4 = 1м; Mx = -5кН·м.
Участок №5 (0 ≤ z5 ≤ 1.5м)
Qy = -YC + q·z5 + F;
при z5 = 0; Qy = -10.333кН.
при z5 = 1.5м; Qy = 7.6667кН.
Mx = YC·z5 + M - q·z52/2 - F·(z5 + 1м);
при z5 = 0; Mx = -2кН·м.
при z5 = 0.86111м; Mx = 2.4491кН·м.
при z5 = 1.5м; Mx = 0.
3. Подбор сечения исходя из условия прочности по допустимому напряжению
Подбор выполняется в наиболее нагруженном месте, т.е. в опасном сечении. Опасное сечение располагается в точке, где внутренние силовые факторы дают максимальное напряжение. Для анализа возьмём точку, в которой значение изгибающего момента - Mx = 5.3333кН·м. Геометрические характеристики сечения определятся исходя из выполнения условия прочности по допустимому напряжению:
σxmax = n·|Mx|/Wx ≤ [σ],
где, Wx - момент сопротивления сечения, n = 1.5 - коэффициент запаса, [σ] = 160МПа - допустимое напряжение.
Выразим и определим каким должен быть момент сопротивления:
Wx = n·|Mx|/[σ] = 1.5·5.3333·103Н·м/160·106Па = 5·10-5м3 = 50см3.
Получившееся значение момента сопротивления округляем до ближайшего большего справочного значения и получаем следующий прокат:
Уголок равнополочный №125x125x14; A = 33.37см2; Jx = 481.76см4; Wx = 54.17см3.
рама с шарниром [••••]
Примечание. Эпюра изгибающего момента построена на растянутом волокне (Диалог "Настройки").
ОТЧЁТ
Исходные данные
| q = 1кН/м; |
| F = 2кН; |
| M = 12кН·м; |
| [σ] = 160МПа; |
| E = 2·105МПа; |
| J1 = 4·104см4; |
| J2 = 5·104см4; |
| т. K - [y]. |
| Рис. 1. Заданная схема. |
Расчёт
1. Определение реакций опор для схемы на рис.2
Составим уравнения статического равновесия.
∑Fx = -XA + XB = 0; ∑Fy = -q·4.5м - F - YA + YC = 0; ∑MA = -q·4.5м·2.25м - F·7м + M - XB·4м + YC·8.5м = 0; ∑MD = -XA·2м + YA·4.5м + q·4.5м·2.25м = 0. | (1) |
Решение уравнений статики (1) даёт следующие значения реакций:
XA = 108кН;
YA = 45.75кН;
XB = 108кН;
YC = 52.25кН.
| Рис. 2. Схема реакций. |
| Рис. 3. Эпюра Nz, кН (осевая сила). |
| Рис. 4. Эпюра Qy, кН (поперечная сила). |
| Рис. 5. Эпюра Mx, кН⋅м (изгибающий момент). |
2. Построение эпюр внутренних силовых факторов для схемы на рис.2
Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 2м)
Nz = YA = 45.75кН.
Qy = XA = 108кН.
Mx = XA·z1;
при z1 = 0; Mx = 0.
при z1 = 2м; Mx = 216кН·м.
Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 4.5м)
Nz = XA = 108кН.
Qy = -q·z2 - YA;
при z2 = 0; Qy = -45.75кН.
при z2 = 4.5м; Qy = -50.25кН.
Mx = -q·z22/2 + XA·2м - YA·z2;
при z2 = 0; Mx = 216кН·м.
при z2 = 4.5м; Mx = 0.
Участок №3 (0 ≤ z3 ≤ 4м)
Qy = -YC = -52.25кН.
Mx = YC·z3;
при z3 = 0; Mx = 0.
при z3 = 4м; Mx = 209кН·м.
Участок №4 (0 ≤ z4 ≤ 2м)
Nz = -YC = -52.25кН.
Mx = M + YC·4м = 221кН·м.
Участок №5 (0 ≤ z5 ≤ 1.5м)
Nz = XB = 108кН.
Участок №6 (0 ≤ z6 ≤ 2.5м)
Nz = XB = 108кН.
Qy = F = 2кН.
Mx = -F·z6;
при z6 = 0; Mx = 0.
при z6 = 2.5м; Mx = -5кН·м.
Участок №7 (0 ≤ z7 ≤ 2м)
Nz = -F = -2кН.
Qy = XB = 108кН.
Mx = -F·2.5м - XB·z7;
при z7 = 0; Mx = -5кН·м.
при z7 = 2м; Mx = -221кН·м.
3. Подбор сечения исходя из условия прочности по допустимому напряжению
Подбор выполняется в наиболее нагруженном месте, т.е. в опасном сечении. Опасное сечение располагается в точке, где внутренние силовые факторы дают максимальное напряжение. Для анализа возьмём точку, в которой значение изгибающего момента - Mx = 216кН·м, значение осевой силы - Nz = 108кН. Геометрические характеристики сечения определятся исходя из выполнения условия прочности по допустимому напряжению:
σxmax = |Mx|/Wx + |Nz|/A ≤ [σ],
где, Wx - момент сопротивления сечения, A - площадь поперечного сечения, [σ] = 160МПа - допустимое напряжение.
Характеристики сечения определятся методом подбора. Согласно формуле определения максимального напряжения величина напряжения состоит из двух частей: напряжения от изгибающего момента и напряжения от осевой силы. При доминировании напряжения от изгибающего момента подбор следует начинать с момента сопротивления, при доминировании напряжения от осевой силы подбор следует начинать с площади сечения. Подбор выполнять по следующим формулам:
Wx = |Mx|/[σ]; A = |Nz|/[σ].
Получившиеся значения геометрических характеристик сечения округляем до ближайшего большего справочного значения и получаем следующий прокат:
Двутавр №50; A = 100см2; Jx = 39727см4; Wx = 1589см3.
С учётом результата подбора напряжение в опасном сечении равно:
σxmax = 216·103Н·м/1589·10-6м3 + 108·103Н/100·10-4м2 = 135.93МПа + 10.8МПа = 146.73МПа ≤ [σ].
Условие обеспечения прочности по допустимому напряжению выполнено.
4. Определение перемещения точки K
Для определения перемещения в заданной точке построим соответствующую единичную систему, рассчитаем для неё реакции опор и эпюры изгибающего момента. Перемножение эпюр изгибающих моментов заданной системы и единичной даст искомое перемещение.
4.1. Определение реакций опор для схемы на рис. 6
Составим уравнения статического равновесия.
∑Fx = XA - XB = 0; ∑Fy = 1 + YA - YC = 0; ∑MA = 1·7м + XB·4м - YC·8.5м = 0; ∑MD = XA·2м - YA·4.5м = 0. | (2) |
Решение уравнений статики (2) даёт следующие значения реакций:
XA = 6.75;
YA = 3;
XB = 6.75;
YC = 4.
| Рис. 6. Схема реакций. |
| Рис. 7. Эпюра Mx. |
4.2. Построение эпюр изгибающего момента для схемы на рис. 6
Участок №1 (0 ≤ z1 ≤ 2м)
Mx = -XA·z1;
при z1 = 0; Mx = 0.
при z1 = 2м; Mx = -13.5.
Участок №2 (0 ≤ z2 ≤ 4.5м)
Mx = -XA·2м + YA·z2;
при z2 = 0; Mx = -13.5.
при z2 = 4.5м; Mx = 0.
Участок №3 (0 ≤ z3 ≤ 4м)
Mx = -YC·z3;
при z3 = 0; Mx = 0.
при z3 = 4м; Mx = -16.
Участок №4 (0 ≤ z4 ≤ 2м)
Mx = -YC·4м = -16.
Участок №5 (0 ≤ z5 ≤ 2.5м)
Mx = 1·z5;
при z5 = 0; Mx = 0.
при z5 = 2.5м; Mx = 2.5.
Участок №6 (0 ≤ z6 ≤ 2м)
Mx = XB·z6 + 1·2.5м;
при z6 = 0; Mx = 2.5.
при z6 = 2м; Mx = 16.
4.3. Расчёт перемещения
Перемещение определится как результат перемножения эпюр изгибающих моментов для заданной системы (рис. 5) и единичной системы построенной для расчёта перемещения (рис. 7):
ΔK = ({[1/(2·1011·4·10-4)]·[2·2.16·105/2]·(-9)}1,1 + {[1/(2·1011·4·10-4)]·[493594]·(-8.9654)}2,2 + {[1/(2·1011·5·10-4)]·[4·2.09·105/2]·(-10.667)}3,3 + {[1/(2·1011·4·10-4)]·[2·2.21·105]·(-16)}4,4 + {[1/(2·1011·5·10-4)]·[2.5·(-5·103)/2]·1.6667}6,5 + {[1/(2·1011·4·10-4)]·[2·(-2.21·105 - 5·103)/2]·11.4}7,6) = (-0.0243 - 0.055316 - 0.044587 - 0.0884 - 1.0417·10-4 - 0.032206) = -0.2449м.
Пояснения по расчёту перемещения находятся по ссылке